Darstellende Matrix zur linearen Abbildung

Question

Hallo,

ich habe noch eine dumme Frage:)

Ich verstehe nicht so ganz, wie das mit der Bestimmung der darstellenden Matrizen (bezüglich der Standardbasis)  zu linearen Abbildungen funktioniert.

Ein Beispiel:

\( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=5 x-y \)

Meines Erachtens müsste hier eigentlich folgendes herauskommen:

\( \left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \) multipliziert mit 1x2-Matrix, in der oben x steht und unten y.

Weiß vielleicht jemand, was ich falsch gemacht habe?

Comments

Der Definitionsbereich ℝ²  hat Dimension 2.

Der Wertebereich ℝ hat Dimension 1.

Also muss die Darstellungsmatrix eine 1x2 Matrix sein.

Du setzt die Basisvektoren des Definitionsbereichs ein \( f(e_1^{(2)})=5\) und \(f(e_2^{(2)}) = -1\)

Das stellst du jetzt als Linearkombination der Basis des Wertebereichs da. Da ist die kanonische Basis \( e_1^{(1)} = 1 \) Bei so einkomponentigen Vektoren lässt man die Klammern oft weg.

$$ f(e_1^{(1)}) = 5\cdot e_1^{(1)} \quad f(e_2^{(2)})=-1\cdot e_1^{(1)} $$

Die Koeffzienten der ersten LK schreibst du in die erste Spalte, die Koeffizienten der zweiten in die zweite Spalte. Was kommt raus?

Answer 1

\( \left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \) ist eine 2x2 Matrix, die eine Abbildung in den R² beschreibt, der Ergebnis ist ein Vektor/Punkt.

 \(  f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}: \left(\begin{array}{c}5  & -1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) \)