Fehler in Wurzelumformung

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Umformung zu deren Lösung Wolfram Alpha und mein Skript was unterschiedliches sagen.

Es geht um folgende Umformung (meine Lösung)

\( \sqrt{2 - 2 cos(t)} \) 

wird zu

\( \sqrt{4*(\frac{2}{4}-\frac{2}{4}cos(t))} \) und das wird zu  \( \sqrt{4} \) *\(  \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{cos(t)}{2}} \)

was ich selber nachgerechnet habe und nochmal in Wolfram Alpha eingegeben habe um zu überprüfen.

Mein Skript sagt mir allerdings dass

\( \sqrt{2 - 2 cos(t)} \)  zu

\( \sqrt{4} \sqrt{\frac{1-cos(t)}{2}} \) wird was ich nicht ganz verstehe. Da fehlt doch ein 1/2 oder nicht?

Answer 1

Das ist gleich. Das ist ein Rechengesetz bei Brüchen:$$\frac{1-\cos(t)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\cos(t)}{2}$$

Answer 2

Aloha :)

Folgende trigonmetrischen Zusammenhänge sind oft sehr nützlich:$$\sin^2\varphi=\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\quad;\quad\cos^2\varphi=\frac12+\frac12\cos(2\varphi)$$

Damit erkennst du, dass man hier noch weiter vereinfachen kann:

$$\phantom{=}\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{4\cdot\left(\frac12-\frac12\cos(t)\right)}=\sqrt4\cdot\sqrt{\frac12-\frac12\cos\left(2\cdot\frac t2\right)}$$$$=2\cdot\sqrt{\sin^2\left(\frac t2\right)}=2\cdot\left|\sin\left(\frac t2\right)\right|$$

Answer 3

 \( \sqrt{4} \sqrt{\frac{1-cos(t)}{2}} \)=\( \sqrt{4·\frac{1-cos/t)}{2}} \)=\( \sqrt{2·(1-cos(t))} \)=\( \sqrt{2 - 2 cos(t)} \)

Answer 4

a/c +b/c =(a+b)/c

Stichwort: gemeinsamer Nenner