Stellen die Spalten eine Basis des R^3 dar? Bestimmen sie die Lösungsmenge

Question

\( \begin{array}{l} \underline{\text { Aufgabe } 8} \\ \mathrm{~A}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \end{array}\right] \end{array} \)
a) Stellen die Spalten von A eine Basis von \( \mathrm{R}^{3} \) dar? Begründen Sie.
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge für:
\( \mathrm{A} *\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \)

Bei dieser Aufgabe einer Altklausur bin ich mir nicht ganz sicher ob ich alles richtig verstanden habe.

Meine Ansätze:

a) Nein, da sich der 3. Vektor aus den anderen beiden ergibt.

\( \begin{pmatrix} 2\\0\\4 \end{pmatrix} \) - 3 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Weiterhin lässt sich beispielsweise der Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) nicht darstellen.

Stimmt das so? Wie würdet ihr begründen?

b)

2a + a - a = 1 ⇒ a = 1/2

0b - b + 3b = 1 ⇒ b = 1/2

4c + c + c = 3 ⇒ c = 1/2

Stimmt das so ?

Answer 1

a) Nein, da sich der 3. Vektor aus den anderen beiden ergibt.

Stimmt so. Die Begründung zielt darauf ab, dass eine Basis linear unabhängig ist.

Weiterhin ...

Stimmt ebenfalls. Die Begründung zielt darauf ab, dass eine Basis eines Vektorraumes \(V\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist.

Du brauchst aber nicht zwei Begründungen angeben.

2a + a - a = 1
0b - b + 3b = 1
4c + c + c = 3

Du solltest dir Matrix-Vektor-Multiplikation noch mal anschauen.

        \(\begin{aligned}2a + b - \phantom{1}c &= 1\\ \phantom{0a} - b + 3c &= 1\\ 4a + b + \phantom{1}c &= 3\end{aligned}\)