Zeigen Sie, dass N_{G}(A) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Hey bei dieser Aufgabe Blick ich momentan nicht durch?

Sei \( G \) eine Gruppe und \( A \) eine nichtleere Teilmenge von \( G \). Wir definieren
\( N_{G}(A)=\left\{g \in G \mid g A g^{-1}=A\right\} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( N_{G}(A) \) eine Gruppe ist.
(b) Bestimmen Sie \( N_{S_{5}}(\langle(123)\rangle) \).

Answer 1

um zu zeigen, dass \(N_G(A) = \{ g \in G \mid gAg^{-1} = A \}\) eine Gruppe ist, musst du die Gruppenaxiome zeigen:

(i) Das neutrale Element \(e\) ist in \(N_G(A)\) enthalten.

(ii) Für alle Elemente aus der Menge existiert ein dazugehöriges Inverse.

(iii) Für zwei Elemente aus der Menge ist das Produkt wieder in der Menge enthalten.

Tipps:

(i) Es ist \(gAg^{-1} = A \iff gA = Ag\).

(ii) Stelle \(gAg^{-1} = A\) so um, dass du \(g\) und \(g^{-1}\) "vertauscht" hast.

(iii) Seien \(g,h \in N_G(A)\). Stelle \(ghA\) geschickt um, unter der Beachtung, dass \(g,h \in N_G(A)\).

Comments

Hey MrDoesi, danke für die Antwort.

Ich verstehe nicht wirklich wie das hier funktioniert. Könntest du es vielleicht einmal vormachen? Ich blick da nicht wirklich durch

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Ich mache die (i) mal vor, damit du weißt, was zu zeigen ist. Bei den anderen Punkten werde ich dir weitere Hinweise geben. Also zum ersten Punkt:

Es gilt zu zeigen: Das neutrale Element \(e \in G\) ist auch in \(N_G(A)\) enthalten.

Beweis: Sei \(e \in G\) das neutrale Element, so gilt

\(eA = A = Ae\),

weil \(A \subset G\) und \(G\) eine Gruppe nach Voraussetzung ist.

Weiter ist

\(eA = Ae \iff eAe^{-1} = A\).

Dies ist gerade die Mengenvorschrift von \(N_G(A)\), also das, was wir zeigen müssen. Damit ist \(e \in N_G(A)\).

Nun zu den übrigen Punkten:

(ii) Aus \(gAg^{-1} = A\) wollen wir \(g^{-1}Ag = A\) bekommen, weil dann per Definition von \(N_G(A)\) gilt, dass \(g^{-1} \in N_G(A)\). Beachte dabei, dass \(gg^{-1} = e = g^{-1}g\) und wende (i) an.

(iii) Wir wollen hier zeigen, dass \(ghA = Agh\) gilt. Fang also an mit \(ghA\) und führe es zu:

\(ghA = g(hA) = ... = Agh\)

Wir wissen nach Voraussetzung, dass \(g\) und \(h\) in \(N_G(A)\) liegen. Folglich gilt:

\(gA = Ag\) und \(hA = Ah\).

Wende dies an, um auf die gewünschte Umformung zu kommen.

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Ich hab leider echt keine Idee wie ich es umformen soll damit das gewünschte rauskommt

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Multipliziere beide Seiten der Gleichung \(gAg^{-1} = A\) von links mit \(g^{-1}\).

Multipliziere beide Seiten der entstandenen Gleichung von rechts mit mit \(g\).

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Na gut, dann liefere ich dir die Beweise und du nennst mir die Begründungen für die Schritte, die ich mit einem Stern markiert habe. Das sollte machbar sein. Also legen wir los:

(ii) Für alle \(g \in N_G(A)\) existiert ein \(g^{-1} \in N_G(A)\):

Es ist nach Voraussetzung \(g \in N_G(A)\), also gilt: \(gAg^{-1} = A\). Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit \(g^{-1}\) und von rechts mit \(g\):

\(g^{-1}gAg^{-1}g = g^{-1}Ag\).

Wegen \(g^{-1}g = e = gg^{-1}\) (\((*_1)\) Warum?) erhalten wir

\(A = g^{-1}Ag \stackrel{(*_2)}{\implies} g^{-1} \in N_G(A)\).

(iii) Seien \(g,h \in N_G(A)\), so ist auch \(gh \in N_G(A)\):

Es ist \(ghA = g(hA) \stackrel{(*_3)}{=} g(Ah) = (gA)h \stackrel{(*_4)}{=} (Ag)h = Agh\), weshalb \(gh \in N_G(A)\) gilt.

Überleg dir solange, welche Begründung zu den Sternchen passen und nenne mir die dann. Tipp: Schau dir meinen vorherigen Kommentar nochmal an. Ich werde mir derweil Gedanken über die (b) machen.

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Okay, jetzt habe ich es denke ich verstanden.

*₁: g^-1gAg^-1g ist ja wegen g^-1g = e das selbe wie eAe. Nun folgt wegen eA = A:

Ae = g^-1Ag und da Ae = A folgt daraus:

A = g^-1Ag und daraus folgt nun *₂ nach Definition von N_G(A)

*₃: h ist aus N_G(A) also gilt hAh^-1 = A

Weiterhin gilt hAh^-1 = A ⇔ hA = Ah.

Aus diesem Grund können wir hA durch AG ersetzen.

*₄ : Selbe Begründung wie bei *₃ nur eben für g.

Ich hoffe das stimmt soweit. Vielen Dank für deine Hilfe.

Die b verstehe ich aber leider immernoch nicht :(

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Ich nenne dir meine Lösung zur Aufgabe (b), die du aber bitte sorgfältig durchgehst und dir überlegst, warum man so vorgehen kann. Sollte es dann noch Fragen geben, kannst du die natürlich gerne stellen.

(b) Bestimmen Sie \(N_{S_5}(\langle (123) \rangle)\).

Es ist also die Menge \(\{\sigma \in S_5 \mid \sigma(123)\sigma^{-1} = (123)\}\) zu bestimmen. Ein Element können wir direkt nennen und zwar das Element \((123)\) selber, denn

\((123)(123)(123)^{-1} = (123)\) bzw. \(ggg^{-1} = g \iff gg = gg\).

Ein weiteres Element ist \((45)\), denn \((123)\) und \((45)\) sind disjunkt, weshalb sie keinen Einfluss aufeinander haben:

\( (45)(123)(45)^{-1} = (45)(123)(54) = (123)(4)(5) = (123) \).

Nun gilt es zu überlegen, welche Elemente es außer den oben genannten noch gibt. Sei dazu \(\sigma \in N_{S_5}(\langle (123) \rangle)\) beliebig, so gilt

\( \sigma(123)\sigma^{-1} = (\sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3)) = (123) \).

Damit die letzte Gleichheit gilt, überlegt man sich, dass

\( (\sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3)) \in \{ (123), (231), (312) \}\)

gelten muss.

Wir brauchen also einmal ein \(\sigma\), welches \((123)\) auf \((123)\) abbildet. Dies ist trivialerweise die Identität. Weiter benötigen wir ein \(\sigma\), welches \((123)\) auf \((231)\) abbildet. Es muss also gelten:

\(\sigma(1) = 2\)

\(\sigma(2) = 3\)

\(\sigma(3) = 1\)

Wenn wir nun eine Permutationstabelle für dieses \(\sigma\) erstellen, sieht die folgendermaßen aus:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix} \implies \sigma = (123)\)

Analog gehen wir für \( (\sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3)) = (312) \) vor, wobei wir hier

\(\sigma = (132)\) erhalten.

Zusammengefasst ist:

\( N_{S_5}(\langle (123) \rangle) = \{ id, (123), (132), (45), (123)(45), (132)(45)\} \)

wobei \((123)(132) = id\).

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Okay vielen Dank. Eine Frage hätte ich noch. Du hast gezeigt, dass id, (123), (132) und (45) Elemente sind. Warum folgt daraus, dass dann auch (123)(45) und (132)(45) Elemente sind?

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Dies sind auch Elemente im Normalisator, weil \((123)\) und \((45)\) disjunkt sind. Das gleiche gilt für \((132)\) und \((45)\). Denn:

\(((123)(45))(123)((123)(45))^{-1} = (123)(45)(123)(45)^{-1}(123)^{-1}\).

Disjunkt bedeutet bei Zyklen: Sind \(\sigma\) und \(\pi\) disjunkt, so gilt:

\(\sigma \circ \pi = \pi \circ \sigma\)

Bei uns also \((45)(123) = (123)(45)\) und damit

\( (123)(45)(123)(45)^{-1}(123)^{-1} = (123)(123)(45)(45)^{-1}(123)^{-1} \).

Nun ist \((45)(45)^{-1} = id\), womit noch

\((123)(123)(123)^{-1}\) übrig bleibt. Da \((123)\) ein Element im Normalisator ist, ist dies gleich \((123)\). Also gilt zusammengefasst:

\(((123)(45))(123)((123)(45))^{-1} = (123)(123)(123)^{-1} = (123) \implies (123)(45) \in N_{S_5}(\langle (123) \rangle )\).

Analog gilt

\(((132)(45))(123)((132)(45))^{-1} = (132)(123)(132)^{-1} = (123) \implies (132)(45) \in N_{S_5}(\langle (123) \rangle)\)

Alternativ kannst du auch für \( \sigma = (132)(45)(123)(231)(54) \) eine Permutationstabelle erstellen:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}\).

Wir können dann ablesen, dass

\(\sigma = (132)(45)(123)(231)(54) = (123)(4)(5) = (123)\).