Okay, dann werde ich mit den Begriffen weiter machen.
Definition: euklidischer Ring
Wir nennen einen Integritätsbereich R einen euklidischen Ring, falls auf diesem eine Normfunktion
\(N: (R\setminus \{0\}) \to (\mathbb{N} \cup \{0\})\)
existiert, sodass gilt:
Für alle \(a,b \in R, b \neq 0,\) existieren \(q,r \in R\) mit
\(a = qb + r\)
wobei \(r = 0\) oder \(r \neq 0\) und \(N(r) < N(b)\) gilt.
Anders ausgedrückt sind euklidische Ringe, Ringe, die eine Division mit Rest zulassen.
Zum besseren Verständnis machen wir mal ein Beispiel. Wir nehmen hier den Ring \( R = \mathbb{Z}\), also den Ring der ganzen Zahlen. Die Normfunktion ist hier, vereinfacht gesagt, die Betragsfunktion:
\(N: (\mathbb{Z}\setminus \{0\}) \to (\mathbb{N} \cup \{0\}), \ n \mapsto |n|\).
Die Division mit Rest kennen wir hier sehr gut. Als Beispiel teilen wir hier \(30\) durch \(4\). Mit dem euklidischen Algorithmus erhalten wir:
\( 30 = 7 \cdot 4 + 2 \)
Dabei ist \( N(7) = 7 > 2 = N(2) \).
Auch der Ring \( R = \mathbb{R[X]}\), also der Ring der reellwertigen Polynome, ist ein euklidischer Ring mit einer Normfunktion, der Gradfunktion: Sei \(f \in \mathbb{R}[X]\) mit Grad \(n\), also von der Form
\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1x + a_0 \),
so ist die Normfunktion definiert als \(N(f) = \deg(f) = n\). Wir kennen dies unter dem Begriff "Polynomdivision".
Genauso ist auch \(R = \mathbb{Z}[i]\) ein euklidischer Ring mit der Normfunktion
\(z \in R: \ N(z) = z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 \)
Die Funktion der Normfunktion ist es hier, zu überprüfen, dass wir auch mit dem kleinstmöglichen Rest teilen, der möglich ist. Im Ring der ganzen Zahlen können wir also anhand von
\(30 = 5 \cdot 4 + 10\)
und \(N(5) = |5| < |10| = N(10)\) erkennen, dass wir noch weiter teilen können, sodass der Rest kleiner wird. Hier ist es natürlich trivial, aber bei Polynomen oder bei komplexen Zahlen ist es dann nicht mehr so einfach - da hilft uns dann die Normfunktion enorm.
Neben dieser Funktion, hilft uns die Normfunktion aber auch bei der Suche von Einheiten, also Elementen, die ein multiplikatives Inverses haben. Den Beweis davon habe ich oben geschrieben.
Sollte etwas unklar sein, frag gerne nach.
Kommen wir nun zurück zur Aufgabe. Wir sollen zeigen, dass die \(2\) in \(R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) irreduzibel ist. Dafür benutzen wir nun die euklidische Normfunktion, die auf \(R\) definiert ist, nämlich \(N(z) = a^2 + 7b^2\).
Wir nehmen nun an, dass wir die \(2\) schreiben können als
\(2 = xy\) mit \(x,y \in R\).
Nun wollen wir mit der Normfunktion arbeiten. Dafür setzen wir die \(2\) ein:
\(N(2) = 2 \cdot \overline{2} = 2 \cdot 2 = 4\). Weiter gilt unter der Annahme \(N(2) = N(xy) = N(x)N(y)\), also
\(N(2) = 4 = N(x)N(y)\).
Wir wissen, dass die Normfunktion nur ganzzahlige Werte annehmen kann und überlegen und daher, dass es zwei Fälle gibt:
1. Fall: \(N(x) = 1\) und \(N(y) = 4\) oder \(N(x) = 4\) und \(N(y) = 1\).
Wir nehmen o.E.d.A. an, dass ersteres gilt. Wie können wir nun hieraus folgern, dass \(x\) eine Einheit ist?
2. Fall: \(N(x) = N(y) = 2\).
Setze \( x = a+b\sqrt{-7}\) und berechne \(N(x)\). Auf welches Problem stoßen wir hier?