Zeigen Sie, dass 2 in R irreduzibel ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( R=\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]:=\{a+b \sqrt{-7} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \).

(a) Zeigen Sie, dass 2 in \( R \) irreduzibel ist.

(b) Beweisen Sie, dass \( R \) kein faktorieller Ring ist. (Sie dürfen verwenden, dass \( 1+\sqrt{-7} \) und \( 1-\sqrt{-7} \) in \( R \) irreduzibel sind. )

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe blicke ich leider überhaupt nicht durch.

Answer 1

fangen wir erstmal mit der (a) an. Die Definition von Irreduzibilität ist:

Sei \(R\) ein Integritätsbereich. Ein Element \(r \in R\) heißt irreduzibel, wenn \(r \neq 0, r \notin R^\times\) ist und für alle \(a,b \in R\) mit \(r = ab\) gilt \(a \in R^x\) oder \(b \in R^x\).

In Worten ausgedrückt ist ein Element aus einem Ring also irreduzibel, wenn es nicht null und keine Einheit ist und sich als Produkt zweier Elemente aus dem Ring darstellen lässt, wobei mindestens eines davon eine Einheit sein muss.

Bevor wir weiter machen, schauen wir uns kurz eine Vorüberlegung an:

Auf dem Ring \(R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) ist eine euklidische Normfunktion \(N: R \to \mathbb{Z}\) mit \(N(a+b\sqrt{-7} = a^2 + 7b^2\) definiert, weil \(R\) hier ein euklidischer Ring ist.

Ich behaupte nun, dass \(z \in R^x \iff |N(z)| = 1\).

Beweis:

Hinrichtung:

Sei \(z \in R^x\), so existiert ein \(z' \in R\), s.d. \(z \cdot z' = 1\).

Folglich gilt \( N(z \cdot z') = N(z)N(z') = 1\).

Da \(N(z) \in \mathbb{Z}\), gilt \(N(z) = \pm 1\).

Rückrichtung:

Sei \(z = a+b\sqrt{-7} \in R\) mit \(|N(z)| = 1\).

Dann ist

\(N(z) = a^2 + 7b^2 = (a+b\sqrt{-7})(a-b\sqrt{-7}) = \pm 1\)

Setze \(z^{-1} := \pm (a-b\sqrt{-7}) \in R \implies z \in R^x\)

Nun zurück zur Aufgabe. Du kannst nun annehmen, dass \(2 = xy\) mit \(x, y \in R\). Verwende nun die Normfunktion und zeige so, dass entweder \(x\) oder \(y\) eine Einheit sein muss. Es sei vorab schonmal so viel gesagt, dass

\(N(2) = N(x)N(y) = 4\).

Nun gilt es Fallunterscheidungen zu machen.

Lg

Comments

Ähm okay, das überfordert mich jetzt ein wenig. Ich kannte bisher nur folgende Definition:

Eine Zahl p ∈ ℤ\{0}, p ≠ ± 1, heißt irreduzibel falls für a, b ∈ ℤ gilt: Wenn a·b = p ist, so ist

a = ± 1 oder b = ±1.

Die Aufgabe ist von einer Altklausur. Ich verstehe aber nicht so ganz die Definition von R. Was hat es mit diesem ℤ[\( \sqrt{-7} \) ] auf sich.

Die Wurzel einer negativen Zahl kenne ich immernoch als undefiniert.

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"Eine Zahl p ∈ ℤ\{0}, p ≠ ± 1, heißt irreduzibel falls für a, b ∈ ℤ gilt: Wenn a·b = p ist, so ist a = ± 1 oder b = ±1."

Das ist in etwa die gleiche Definition, nur dass du keinen allgemeinen Ring, sondern gleich die Menge der ganzen Zahlen betrachtest.

Die allgemeine Definition von einer Einheit in einem Ring ist:

Ein Element \(u \in R\) heißt Einheit von \(R\), wenn \(u\) in \(R\) invertierbar ist, wenn es also ein Element \(u' \in R\) gibt mit \(u \cdot u' = u' \cdot u = 1\). Man schreibt dann \(u^{-1}\) für \(u'\). \(R^x\) ist dann die Menge aller Einheiten von \(R\).

Speziell in deinem Fall betrachten wir den Ring \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen, in den es nur die Einheiten \(1\) und \(-1\) gibt.

Es ist \(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}] = \{a + b \cdot \sqrt{-7} \mid a,b \in \mathbb{Z}\} = \{a + i\sqrt{7} \cdot b \mid a,b \in \mathbb{Z}\}\), denn es ist \(\sqrt{-1} = i\). Man nennt \(i\) auch eine imaginäre Einheit. Zahlen bzw. Elemente der Form \( x + iy \) nennen wir auch imaginäre Zahlen bzw. Elemente.

Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit \(\mathbb{C}\). Das besondere ist hierbei, dass die Menge der komplexen Zahlen isomorph zum \(\mathbb{R}^2\) ist. Das heißt, wir können jede komplexe Zahl im \(\mathbb{R}^2\) darstellen, indem wir den \(\mathbb{R}^2\) in eine reelle und eine imaginäre Achse einteilen.

Betrachten wir als Beispiel mal die komplexe Zahl

\(z = 2 + i5 \).

Der Realteil einer komplexen Zahl ist immer der Teil ohne \(i\), also hier die \(2\). Man schreibt dann

\( \Re(2+i5) = 2 \) oder \( Re(2+i5) = 2\).

Der Imaginärteil ist hier der andere Teil, der Teil mit dem \(i\) als Faktor. Den bezeichnen wir mit

\( \Im(2+i5) = 5 \) oder \( Im(2+i5) = 5\).

Das nun \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\) gilt, können wir, wie gesagt, die komplexen Zahlen in der \(\mathbb{R}^2\) Ebene darstellen. Ganz einfach gesagt, gehen wir \(Re(z)\) viele Schritte in Richtung der \(x\)-Achse und \(Im(z)\) viele Schritte in Richtung der \(y\)-Achse. Die \( 2+i5 \) lässt sich also darstellen als:

Wenn wir nun zu unserem \(R\) zurückkehren und die ersten Elemente aus der Menge

\(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}] = \{a + i\sqrt{7} \cdot b \mid a,b \in \mathbb{Z}\}\)

mal in so ein Koordinatensystem einzeichnen, dann erhalten wir

Wenn du dich damit mehr beschäftigen möchtest, schau dir mal den Ring der Gaußschen Zahlen an.

Bevor ich dir mit der Normfunktion weiterhelfe, möchte ich erst einmal Fragen, ob dir der Begriff "euklidischer Ring" oder "Normfunktion" überhaupt etwas sagt? Ansonsten werde ich schauen, dass ich einen Weg finde, der nicht mit diesen Begriffen arbeitet.

Lg

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Alles klar danke für die Erklärung.

Der Begriff des euklidischen Rings sagt mir was, allerdings habe ich ich Definition davon nicht zu 100% verstanden.

Danke für die Hilfe

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Okay, dann werde ich mit den Begriffen weiter machen.

Definition: euklidischer Ring

Wir nennen einen Integritätsbereich R einen euklidischen Ring, falls auf diesem eine Normfunktion

\(N: (R\setminus \{0\}) \to (\mathbb{N} \cup \{0\})\)

existiert, sodass gilt:

Für alle \(a,b \in R, b \neq 0,\) existieren \(q,r \in R\) mit

\(a = qb + r\)

wobei \(r = 0\) oder \(r \neq 0\) und \(N(r) < N(b)\) gilt.

Anders ausgedrückt sind euklidische Ringe, Ringe, die eine Division mit Rest zulassen.

Zum besseren Verständnis machen wir mal ein Beispiel. Wir nehmen hier den Ring \( R = \mathbb{Z}\), also den Ring der ganzen Zahlen. Die Normfunktion ist hier, vereinfacht gesagt, die Betragsfunktion:

\(N: (\mathbb{Z}\setminus \{0\}) \to (\mathbb{N} \cup \{0\}), \ n \mapsto |n|\).

Die Division mit Rest kennen wir hier sehr gut. Als Beispiel teilen wir hier \(30\) durch \(4\). Mit dem euklidischen Algorithmus erhalten wir:

\( 30 = 7 \cdot 4 + 2 \)

Dabei ist \( N(7) = 7 > 2 = N(2) \).

Auch der Ring \( R = \mathbb{R[X]}\), also der Ring der reellwertigen Polynome, ist ein euklidischer Ring mit einer Normfunktion, der Gradfunktion: Sei \(f \in \mathbb{R}[X]\) mit Grad \(n\), also von der Form

\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1x + a_0 \),

so ist die Normfunktion definiert als \(N(f) = \deg(f) = n\). Wir kennen dies unter dem Begriff "Polynomdivision".

Genauso ist auch \(R = \mathbb{Z}[i]\) ein euklidischer Ring mit der Normfunktion

\(z \in R: \ N(z) = z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 \)

Die Funktion der Normfunktion ist es hier, zu überprüfen, dass wir auch mit dem kleinstmöglichen Rest teilen, der möglich ist. Im Ring der ganzen Zahlen können wir also anhand von

\(30 = 5 \cdot 4 + 10\)

und \(N(5) = |5| < |10| = N(10)\) erkennen, dass wir noch weiter teilen können, sodass der Rest kleiner wird. Hier ist es natürlich trivial, aber bei Polynomen oder bei komplexen Zahlen ist es dann nicht mehr so einfach - da hilft uns dann die Normfunktion enorm.

Neben dieser Funktion, hilft uns die Normfunktion aber auch bei der Suche von Einheiten, also Elementen, die ein multiplikatives Inverses haben. Den Beweis davon habe ich oben geschrieben.

Sollte etwas unklar sein, frag gerne nach.

Kommen wir nun zurück zur Aufgabe. Wir sollen zeigen, dass die \(2\) in \(R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) irreduzibel ist. Dafür benutzen wir nun die euklidische Normfunktion, die auf \(R\) definiert ist, nämlich \(N(z) = a^2 + 7b^2\).

Wir nehmen nun an, dass wir die \(2\) schreiben können als

\(2 = xy\) mit \(x,y \in R\).

Nun wollen wir mit der Normfunktion arbeiten. Dafür setzen wir die \(2\) ein:

\(N(2) = 2 \cdot \overline{2} = 2 \cdot 2 = 4\). Weiter gilt unter der Annahme \(N(2) = N(xy) = N(x)N(y)\), also

\(N(2) = 4 = N(x)N(y)\).

Wir wissen, dass die Normfunktion nur ganzzahlige Werte annehmen kann und überlegen und daher, dass es zwei Fälle gibt:

1. Fall: \(N(x) = 1\) und \(N(y) = 4\) oder \(N(x) = 4\) und \(N(y) = 1\).

Wir nehmen o.E.d.A. an, dass ersteres gilt. Wie können wir nun hieraus folgern, dass \(x\) eine Einheit ist?

2. Fall: \(N(x) = N(y) = 2\).

Setze \( x = a+b\sqrt{-7}\) und berechne \(N(x)\). Auf welches Problem stoßen wir hier?

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Ich verstehe leider noch nicht so ganz was dieses N(x) jetzt ist und wie man das berechnet, daher weiß ich grade auch bei den Fragen nicht wirklich weiter.

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Für komplexen Zahlen ist die euklidische Normfunktion folgendermaßen definiert:

Sei \(z \in R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\), so hat \(z\) nach Definition von R die Form \(z = a + b\sqrt{-7} = a + ib\sqrt{7}\) mit \(a,b \in \mathbb{Z}\). Die Normfunktion ist nun \(N(z) = z \cdot \overline{z}\), wobei \(\overline{z}\) das sogenannte komplex konjugierte ist.

Komplex konjugiert: \(\overline{x+iy} = x - iy\).

Demnach gilt also für unser \(z \in R\):

\(N(z) = z \cdot \overline{z} = (a + ib\sqrt{7})(\overline{a + ib\sqrt{7}}) \).

Mit \( (\overline{a + ib\sqrt{7}}) = (a - ib\sqrt{7}) \) und der dritten binomischen Formel erhalten wir also

\( N(z) = N(a + ib\sqrt{7}) = a^2 - (ib\sqrt{7})^2 = a^2 - (i)^2b^27 \stackrel{i^2 = -1}{=} a^2 + 7b^2\).

Nun zur Aufgabe (a):

1. Fall

Hier müssen wir nicht viel rechnen. Es genügt uns, \(N(x) = 1\) anzuschauen. ich habe in der ersten Antwort die Beziehung

\(z \in R^x \iff |N(z)| = 1\)

bewiesen. Auf der Aufgabe bezogen heißt die Beziehung dann

\( z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]^x \iff |N(z)| = 1\).

Ein Element in \(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) ist also genau dann eine Einheit, wenn die Normfunktion entweder gleich \(1\) oder \(-1\) ist.

Wegen \(N(x) = 1\) ist \(x\) also eine Einheit in \(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\).

Damit können wir hier also unsere \(2\) als Produkt zweier Elemente aus dem Ring schreiben, wobei eines davon eine Einheit ist. Das ist gerade die Definition davon, dass \(2\) irreduzibel ist.

2. Fall

Wir wählen ein beliebiges \( x \in \mathbb{Z}[\sqrt{-7}] \), womit es also die Form \(x = a + b\sqrt{-7}\) hat. Jetzt benötigen wir die Formel für die hierzugehörige Normfunktion:

\(N(x) = N(a+ib\sqrt{7}) = a^2 + 7b^2\).

Wir haben die Annahme gemacht, dass \(N(x) = 2\) gilt. Folglich muss dann

\(N(x) = a^2 + 7b^2 = 2\)

gelten. Diese Gleichheit ist mit \(a,b \in \mathbb{Z}\) aber nicht lösbar, warum? Was sagt uns das über das \(x\) aus?

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Das Quadrat ist für Elemente aus ℤ immer positiv, bzw. für 0 = 0. Wir können folgende Fälle betrachten:

1. a = 0 und b = 0:

Dann hätten wir aber 0² + 7·0² = 0 ≠ 2

2. a= 0 und b ≠ 0:

Dann hätten wir 0 + 7·b² , wobei b² aber positiv sein muss also hätten wir irgendein Vielfaches von 7, aber nicht 2.

3. a ≠ 0 und b = 0:

Dann hätten wir a² = 2. In ℤ haben wir dafür aber keine Lösung.

4. a ≠ 0 und b ≠0:

Dann hätten wir a² + 7b² = 2. Da a ≠ 0 folgt a² ≥ 1. Das selbe gilt für b. Da wir aber a² mit einem positiven Vielfachen von 7 addieren kann auch hier nicht 2 rauskommen.

Bei der zweiten Frage stehe ich gerade allerdings auf dem Schlauch :(

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Richtig, in \(\mathbb{Z}\) hat die Gleichung keine Lösung. Daraus folgt nun, dass es ein solches \(x \in \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) mit \(N(x) = 2\) nicht geben kann. Der zweite Fall kann also nicht eintreten. Damit bleibt nur der erste Fall übrig, wo wir aber zeigen konnten, dass die \(2\) irreduzibel ist. Das war dann auch schon der Beweis für die (a).

Bleibt noch die (b) zu zeigen:

"(b) Beweisen Sie, dass \( R \) kein faktorieller Ring ist. (Sie dürfen verwenden, dass \( 1+\sqrt{-7} \) und \(1-\sqrt{-7}\) in \(R\) irreduzibel sind.)"

Hier gibt es eine nützliche Beziehung, die man kennen sollte:

Ist \(R\) faktoriell, so gilt für \(r \in R: \ r\) irreduzibel \(\iff r\) prim.

Tatsächlich ist es so, dass \(2\) in \(\mathbb{Z[\sqrt{-7}]}\) nicht prim ist. Dazu hilft dir der Hinweis, dass \( 1+\sqrt{-7} \) und \(1-\sqrt{-7}\) in \(R\) irreduzibel sind.

Zur Erinnerung:

\(r \in R\) prim oder Primelement von \(R\), wenn \(r \neq 0, r \notin R^x\) und für alle \(a,b \in R\) gilt:

\(r \mid ab \implies r \mid a \) oder \(r \mid b\).

In Worten: Wir nennen ein Element \(r\) aus dem Ring \(R\) prim, wenn es nicht null und keine Einheit ist. Weiter muss gelten, wenn \(r\) das Produkt \(ab\) teilt, so teilt es entweder auch \(a\) oder \(b\).

Überleg dir also, wie du die beiden Zahlen im Hinweis verwenden kannst, um zu zeigen, dass \(2\) nicht prim ist. Tipp: Keine Strichrechnung.

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Danke das du dir die Zeit nimmst alles so detailliert zu erklären, dadurch wird es sehr gut nachvollziehbar.

Was die a angeht hab ich das nun soweit verstanden :)

Was die b angeht, kann ich mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung leider nichts anfangen bzw. ich weiß nicht wie ich ihn verwenden muss um zu zeigen, dass 2 nicht prim ist.

LG

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Der Tipp war: Keine Strichrechnung. Also benutzen wir einfach mal die Punktrechnung und zwar die Multiplikation:

\((1+\sqrt{-7}) \cdot (1 - \sqrt{-7}) = (1+i\sqrt{7}) \cdot (1-i\sqrt{7}) = 1^2 - (i\sqrt{7})^2 = 1 - i^2\sqrt{7}^2 = 1 + 7 = 8\).

Kommst du so weiter? Wir brauchen hier die \(2\) irgendwo.

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Okay, wieso genau kommt man von dem Schritt davor auf 1+7?

Leider komm ich damit auch nicht wirklich weiter.

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Hol bitte unbedingt nochmal die grundlegenden Rechenregeln von komplexen Zahlen nach, falls du die schon mal hattest, aber noch nicht wirklich angeeignet hast.

Es gilt die Grundregel: \(i^2 = -1\). Die wenden wir hier auch an:

\((1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7}) = ... = 1 - (i\sqrt{7})^2 = 1 - i^2\sqrt{7^2} = 1 - (-1)(7) = 1 + 7 = 8\).

Nun gilt \(8 = 4 \cdot 2\), also

\((1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7}) = 4 \cdot 2\).

Es gilt also

\(2 \mid (1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7})\),

denn:

\(a \mid b \iff a \cdot n = b\).

a ist also ein Teiler von b, wenn b ein Vielfaches von a ist.

Hier haben wir \( a = 2, \ n = 4\) und \( b = (1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7})\).

Angenommen, \(2\) ist Prim, dann muss \(2\) per Definition auch \((1+\sqrt{-7})\) oder \((1-\sqrt{-7})\) teilen. Formal:

\( 2 \mid (1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7}) \implies 2 \mid (1+\sqrt{-7}) \ \vee \ 2 \mid (1-\sqrt{-7})\).

Man kann nun zum Beispiel mit dem euklidischen Algorithmus zeigen, dass \(2\) weder \((1+\sqrt{-7})\) noch \((1-\sqrt{-7})\) teilt.

Darauf möchte ich jetzt aber nicht noch weiter eingehen, weil das ein sehr großes Thema ist. Schau dazu am besten mal in deinem Skript nach oder auf Youtube nach Videos, wo der euklidische Algorithmus an Beispielen durchgeführt wird. Ich kann dir persönlich die Videos von Michael Penn zu diesem Thema empfehlen. Die haben mir damals sehr geholfen: https://www.youtube.com/watch?v=_EGMgO1F4RI.

Hier mit Polynomen: https://www.youtube.com/watch?v=Y3CQn_KOAkk.

Zurück zur Aufgabe. Wir haben zeigen können, dass die \(2\) in \(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) kein Primelement ist.

Wir hatten die Beziehung:

Ist \(R\) faktoriell, so gilt für \(r \in R: \ r\) irreduzibel \(\iff r\) prim.

Wir machen also die entgültige Annahme, dass \(R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\) faktoriell ist. Aus der (a) wissen wir, dass \(2\) irreduzibel ist. Nach der Annahme muss \(2\) dann nun auch ein Primelement in \(R\) sein. Dies ist aber ein Widerspruch zu dem, was wir eben gezeigt haben. Denn wir haben gezeigt, dass \(2\) kein Primelement in \(R\) ist. Demzufolge war die Annahme falsch und \(R\) ist nicht faktoriell. q.e.d.

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Alles klar, vielen Dank für deine Mühen.

LG