Question

Zeigen Sie, dass der folgende Ausdruck durch 3 teilbar ist.

\( n^{3}-6 n^{2}+14 n \)

Answer 1

Zu zeigen: n^3 - 6·n^2 + 14·n ist durch 3 teilbar.

Wo ist das Problem?

Vollständige Induktion.

n = 1

1^3 - 6·1^2 + 14·1 = 9 ist durch 3 teilbar

(n + 1)^3 - 6·(n + 1)^2 + 14·(n + 1) ist durch drei teilbar wenn n^3 - 6·n^2 + 14·n durch 3 teilbar ist

(n + 1)^3 - 6·(n + 1)^2 + 14·(n + 1)
= n^3 - 3·n^2 + 5·n + 9
= (n^3 - 6·n^2 + 14·n) + (3·n^2 - 9·n + 9)

Nun haben wir 2 Summanden. Der Linke ist durch annahme teilbar im rechten kann man die 3 als Faktor ausklammern.