Wenn du eine Summe A hast mit $$A = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k$$ und eine Summe B mit $$B = \sum_{k = 0}^{\infty} b_k$$ und $$b_k \ge | a_k |$$ für alle k, und zusätzlich B konvergiert, dann muss auch A konvergieren.
Als Beispiel sei mal $$b_k = ( \frac{1}{2} )^k$$, also $$B = \sum_{k = 0}^{\infty} ( \frac{1}{2} )^k$$. Diese Reihe konvergiert ( es ist eine geometrische Reihe und 1/2 ist kleiner als 1 ).
Und sei $$a_k = ( \frac{1}{3} )^k$$, also $$A = \sum_{k = 0}^{\infty} ( \frac{1}{3} )^k$$. Nun kann man mal die Folgenglieder vergleichen:
$$b_k = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$$
$$a_k = 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ...$$
Man sieht, dass die erste Folge immer größer oder gleich der zweiten ist. Folglich ist auch die Summe der Folgenglieder der ersten Folge immer größer als die Summe der Folgenglieder der zweiten Folge.
Was soll denn nun die Summe A machen, außer zu konvergieren, wenn B schon konvergiert? Wie soll sie jemals B "überholen", wenn sie immer kleiner als B ist? Sie kann also nur noch konvergieren.