majorantenkriterium??

Question

kann mir vielleicht jemand das majorantenkriterium genau erklären irgendwie checke ich das nicht und diese aufgabe ist auch ein rätsel : Benutzen sie das majorantenkriterium um zu zeigen, dass die reihe summe n größer null 1/n! Konvegiert. Genauer:Zeigen sie dass eine zahl a existiert, so dass gilt, berechnen sie den wert von summe n größer null 1/n! Auf drei nachkommastellen.

Comments

nach dem satz so dass gilt steht vorher diese aufgabe: 1/n! Kleiner als a (1/2)hoch n

Answer 1

Wenn du eine Summe A hast mit $$A = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k$$ und eine Summe B mit $$B = \sum_{k = 0}^{\infty} b_k$$ und $$b_k \ge | a_k |$$ für alle k, und zusätzlich B konvergiert, dann muss auch A konvergieren.

Als Beispiel sei mal $$b_k = ( \frac{1}{2} )^k$$, also $$B = \sum_{k = 0}^{\infty} ( \frac{1}{2} )^k$$. Diese Reihe konvergiert ( es ist eine geometrische Reihe und 1/2 ist kleiner als 1 ).

Und sei $$a_k = ( \frac{1}{3} )^k$$, also $$A = \sum_{k = 0}^{\infty} ( \frac{1}{3} )^k$$. Nun kann man mal die Folgenglieder vergleichen:

$$b_k = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$$

$$a_k = 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ...$$

Man sieht, dass die erste Folge immer größer oder gleich der zweiten ist. Folglich ist auch die Summe der Folgenglieder der ersten Folge immer größer als die Summe der Folgenglieder der zweiten Folge.

Was soll denn nun die Summe A machen, außer zu konvergieren, wenn B schon konvergiert? Wie soll sie jemals B "überholen", wenn sie immer kleiner als B ist? Sie kann also nur noch konvergieren.

Comments

ok bis hierhin hab ich es verstansden aber ich weiß nicht wie ich den wert summe n größer als null 1/n! Berechnen soll

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ja bis dahin hab ich es verstanden aber wie solch ich zeigen dass eine zahl a existiert so dass 1 durch n! Kleiner gleivh a mal (1_2)hoch n gilt??????

Answer 2

Zeige per Induktion über \(n\), dass für alle \(n>0\) gilt \(n!\geq2^{n-1}\).
Induktionsanfang: Klar für \(n=1\).
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein \(n>0\).
Induktionsschritt: Zu zeigen ist \((n+1)!\geq2^n\).
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
\((n+1)!=(n+1)\cdot n!\geq2\cdot2^{n-1}=2^n\).
Daraus folgt die Behauptung.
Es folgt \(\boxed{\dfrac1{n!}\leq2\cdot\left(\dfrac12\right)^n}\) für alle \(n>0\).