Prä-Hilbert Raum über R^3

Question

Aufgabe:

Sein (V,⟨⋅,⋅⟩) Prä-Hilbert Raum über R^3 und U⊂V ein endlich-dimensionaler Unterraum. Wir definieren eine Abbildung P:V→U, die jedem v∈V den eindeutig bestimmten Vektor P(v):=u′∈U zuordnet, der die folgende Eigenschaft erfüllt:

⟨v-u′,u⟩=0 für alle u∈U

Hinweis: Es ist nicht erforderlich, die Wohldefiniertheit der Abbildung P

a) Zeigen Sie, dass P:V→U ein Homomorphismus ist.

b) Zeigen Sie, dass ker(P)=U^⊥ gilt.

c) Zeigen Sie, dass jedes v∈V eine eindeutige Darstellung v=u₁+u₂ mit P(u₂)=0 hat.

d) Zeigen Sie, dass P∘P=P gilt

:)

Comments

c) Zeigen Sie, dass jedes v∈V eine eindeutige Darstellung v=u₁+u₂ mit P(u₂)=0 hat.

Wo kommen u₁ und u₂ her?

Answer 1

a) Seien, \(v_1,v_2 \in V, \alpha \in \mathbb{R}\). Zeige, dass

        \(\langle\left(\alpha v_1+v_2\right) - \left(\alpha P(v_1)+P(v_2)\right),u\rangle = 0\quad \forall u\in U\)

ist. Verwende dazu die Rechenregeln für das Skalaprodukt.

b) \(v\in \ker(P) \iff P(v)=0\iff \forall u\in U\langle v-0,u\rangle = 0\).

d) Die Abbildung \(P\circ P:V\to U\) ordnet jedem \(v\in V\) den eindeutig bestimmten Vektor \(u'\in U\) zu, der die Eigenschaft

        \(\langle P(v) - u', u\rangle = 0\quad \forall u\in U\)

erfüllt.

Answer 2

a) Zeigen Sie, dass P:V→U ein Homomorphismus ist.

Also zeigen P(v+w)=P(v)+P(w).

Seien also v,w aus V dann sind P(v) und P(w) solche u' und x' für die gilt

⟨v-u′,u⟩=0 für alle u∈U und ⟨w-x′,u⟩=0 für alle u∈U.

Und P(v+w) ist ein y' für das gilt  ⟨(v+w)-y′,u⟩=0 für alle u∈U.

Bleibt zu zeigen, dass dann y' = u' + x' gilt.

Es gilt ja: 0 + 0 = 0

Mit ⟨v-u′,u⟩=0 ⟨w-x′,u⟩=0 folgt

==> ⟨v-u′,u⟩ + ⟨w-x′,u⟩=0

Wegen der Linearität des Skalarproduktes in der 1. Komponente gilt

⟨v-u′ + (w-x′) ,u⟩=0

==>  ( v+w - (u'+x') , u > = 0   also klappt es mit   y' = u' + x'.

Ähnlich für die Homogenität.

b) Zeigen Sie, dass ker(P)=U^⊥ gilt.

Zeige:  Für x ∈ U^⊥ , also   <x,u>=0 für alle u∈U gilt P(x)=0

denn <x-0,u>=0.

und umgekehrt  P(x)=0 ==>  x ∈ U^⊥

c) Zeigen Sie, dass jedes v∈V eine eindeutige Darstellung v=u1+u2 mit P(u2)=0 hat.

https://www.matheboard.de/archive/403114/thread.html

d) Zeigen Sie, dass P∘P=P gilt

Kannst du dann aus c) folgern.

Comments

vielen lieben dank :)

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wie kann man aus c) sagen dass PoP=P

also: P(P(v)) = P(P(u_1+u_2)) = P(P(u_1)+P(u_2))= P(P(u1))

und dann?

Danke