Was hat es zu bedeuten wenn die höheren ableitungen alle null werden?

Question

Ich habe eine kurze frage. Ich soll alles lokalen extremstellen der Funktionen (x-3)^7 und (x+8)^16 bestimmen und klassifizieren um welche art von extrema es sich ahndelt. Ich bekomme für die erste funktion x=3 und für die zweite funktion x=-8 als potentielle Extremstellen. Allerdings werden die höheren ableitungen an der stelle alle null. Was sagt mir das jetzt?

Answer 1

Bei (x - 3)^7 handelt es sich um den Graphen von x^7, der um 3 Einheiten nach rechts verschoben worden ist. Daher haben wir hier einen Sattelpunkt vorliegen. Schon die Untersuchung der Nullstelle deutet eine ungerade Nullstelle an, bei der der Graph die x-Achse schneidet.

Bei  (x + 8)^16 handelt es sich um den Graphen von x^16, der um 8 Einheiten nach links verschoben wurde.  Daher haben wir hier einen Tiefpunkt. Schon die Untersuchung der Nullstelle deutet eine gerade Nullstelle an, bei der der Graph die x-Achse berührt.