Aloha :)
Wir wählen für die \(xy\)-Ebnene Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\sqrt{13}]\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Die Obergrenze für \(r\) stellt sicher, dass \(z\in\left[2\,;\,15-r^2\right]\). Mit dem verzerrten Flächenelement \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) haben wir:
$$V=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^{\sqrt{13}}\,\int\limits_{z=2}^{15-r^2}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^{\sqrt{13}}r\left(\int\limits_{z=2}^{15-r^2}dz\right)dr$$$$\phantom{V}=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\int\limits_{r=0}^{\sqrt{13}}r\left[z\right]_{2}^{15-r^2}dr=2\pi\int\limits_{r=0}^{\sqrt{13}}r\left(13-r^2\right)dr=2\pi\left[\frac{13}{2}r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{13}}$$$$\phantom{V}=2\pi\left(\frac{13}{2}\cdot13-\frac{13^2}{4}\right)=2\pi\cdot\frac{13^2}{4}=\frac{169}{2}\pi$$
