Drehachse und Winkel bestimmen (um welche Achse)

Question

Aufgabe:

$$A= \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0&\frac{5}{\sqrt{30}}&\frac{-1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$

Um welche Achse und um welchen Winkel wird gedreht?

Problem/Ansatz:

Drehwinkel:cos(φ) = 1/2(SpurD -1) =1/2(2/√5 + 2/√30 - 1/√6 - 1) ≈ -0.07434

arctan(cos(φ)) = arctan(-0,07434) ≈ -0,074203 rad = -4.2515187272092 °

Drehachse 1/sin(180 ° - 4,25 °)[(5/sqrt(30) - 2/sqrt(6))

                                -1/sqrt(6) -0

                                  1/sqrt(5) + 1/sqrt(30)]

Kann man denn ablesen, um welche Achse sich diese Matrix dreht und hat das auch was mit der transponierten Matrix (Inverse) zu tun?

Wie kann man die Achse ablesen (Drehmatrix) und den Drehwinkel herausfinden?

$$A =\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$

A^-1 =$$\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{-1}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{-1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$

Hier ist die transponierte Matrix. Kann man anhand dieser sehen, um welche Achse sich das dreht und welchen Winkel diese hat.(Drehmatrix)

Meiner Vermutung nach dreht sich diese um die y-Achse und um den Drehwinkel zu berechnen muss man daher 1/2(-1/√6 + 2/√30 -1) rechnen.

Answer 1

Hallo,

ablesen kann man die Drehachse meines Wissens nach in diesem Fall nicht. Allerdings sollte dir der Ansatz \(Qx=x\) nicht fremd vorkommen (\(x\) ist der Eigenvektor zu \(\lambda=1\)). Alle Punkte, die sich auf der Drehachse befinden, bleiben fest, du suchst also nach den Fixpunkten.

Der Kosinus hat übrigens zwei Lösungen, die zu verschieden ausgerichteten Drehachsen gehören (das musst du dann bestimmen):

Comments

Danke für die Antwort. Also kann man nicht bestimmen um welche Achse es sich dreht.

Hatte nämlich als Drehwinkel -0,07434 raus(-4,25 ° + 180°).

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Da simmt was net Det(A)=-1, das ist ehr eine Spiegelung...

Es lassen sich auch keine Eigenwerte finden - ist das eventuell eine affine Abbildung?

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Es ging darum herauszufinden/abzulesen (anhand dieser Matrix) um welche Achse und um welchen Winkel gedreht wurde(Beschreibung einer Drehung).

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Es lassen sich auch keine Eigenwerte finden

Mindestens einen reellen Eigenwert muss es geben. Nach meinen Berechnungen ist -1 ein solcher.

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Jep,

hab wohl beim Rausarbeiten der Rundungsfehler (es gibt nur eine numerische Lösung) noch einen dazu gemacht. Wir haben also einen Eigenwert -1, was nur bei einer Drehung R^3 um vielfache von 180° sein kann.

Wenn man sich das an einem Beispiel anschaut passt es aber wieder nicht?

Answer 2

Aloha :)

Die Determinante der Matrix \(A\) ist gleich \((-1)\). Es handelt sich hier also nicht um eine Drehmatrix, sondern um eine Drehspiegelmatrix. Bist du sicher, dass du alle Vorzeichen richtig abgetippt hast?

Die Drehachse ist der Eigenvektor zum Eigenwert \((-1)\). Ich komme auf:$$\vec v\approx\left(\begin{array}{r}0,153027\\-0,648232\\1\end{array}\right)$$Beim Drehwinkel musst du hier nicht die Spur minus \(1\), sondern die Spur plus \(1\) rechnen:$$\cos\varphi=\frac12\left(\operatorname{Spur}(A)+1\right)\approx0,925664\quad\implies\quad\varphi\approx22,23^\circ$$

Comments

Danke für deine Antwort.

Ja, die Vorzeichen sind eigentlich richtig gesetzt. Sieht man die denn deutlich?

Diese Matrix ist auch drehbar. Es ging vor allem darum, um welche Achse sich die Drehmatrix(von A zu A^-1) gedreht.

\(A =\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{-1}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}\)

A^-1 =\(\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{-1}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{-1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}\)

Und um welche Achse dreht sich diese Drehmatrix gedreht(A-> A^-1)?

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Also z-Achse um 22,23°?

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Nicht ganz, die Drehachse ist der Eigenvektor zum Eigenwert \((-1)\). Das ist der Vektor \(\vec v\) aus meiner Antwort. Das Problem ist hier, dass es sich bei der Matrix nicht um eine reine Drehung handelt, sondern um eine Drehung inklusive Spiegelung (die Determinante ist \((-1)\), nicht \(1\)).