Beschreiben Sie die Beziehung zwischen den Parametern a und b mit einer Gleichung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit der Gleichung \( f(x)=a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+x+3(a, b \in \mathbb{R}) \). Die Funktion \( f \) hat bei \( \mathrm{W}(1 / 2) \) eine Wendestelle.
- Beschreiben Sie die Beziehung zwischen den Parametern a und \( b \) mit einer Gleichung! (=Gleichungssystem)
Ermitteln Sie die Fläche der Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) im Intervall \( [0 ; 2] \).

Wie geht das? Man braucht ja mal 3 Gleichungen um überhaupt die Variablen a, b und x ermitteln zu können. Eine davon wär die 2. Ableitung mit den Werten 1/2 vom Wendepunkt. Danach weiß ich nicht mehr weiter, auch nicht wie man die Beziehung zwischen den Parametern a und b beschreiben soll? Wär das die relative Änderung?

Die Fläche der Funktion wär mit dem bestimmten Integral (glaub ich) zu ermitteln

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + x + 3

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + 1

f''(x) = 6·a·x + 2·b

Die Bedingungen sind jetzt

f(1) = a·1^3 + b·1^2 + 1 + 3 = 2 --> a + b = -2

f''(1) = 6·a·1 + 2·b = 0 --> 6·a + 2·b = 0

Als Lösung erhalte ich a = 1 ∧ b = -3

Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im angegebenen Intervall

f(x) = x^3 - 3·x^2 + x + 3

A = ∫ (0 bis 2) (x^3 - 3·x^2 + x + 3) dx = 4

Comments

Warum hast du bei der ersten Bedingung 1 und 1 eingesetzt für x und y?

Die Bedingung bei der f''(x) versteh ich, aber die erste nicht

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Welche bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie durch den Punkt (1|2) verläuft? Ist das nicht einfach f(1) = 2

Das nutzt man als Bedingung.

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Ja, warum du f(1) = 2 genommen hast ist klar, aber diese versteh ich nicht:

f(1) = a·1^3 + b·1^2 + 1 + 3                  

Weil der Wert ist ja nirgends angegeben

Answer 2

Hallo

in f''(1)=0 hast du doch nur noch a und b also direkt eine Beziehung zwischen ihnen? dann noch f(1)=2 gibt die zweite Beziehung. x musst du ja nicht ermitteln, das ist 1.

Gruß lula

Comments

Wie bist du auf das f''(1) = 0 gekommen?

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Wie bist du auf das f''(1) = 0 gekommen?

f''(1) = 0 ist die Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle x = 1

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Puh ok danke, das wusste ich auch nicht

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Puh ok danke, das wusste ich auch nicht

Ist das jetzt klar oder eher nicht? Weil weiter unten hast du noch 2 mal die gleiche Frage gestellt?

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Nein, ist nicht klar. Ist das erste Mal, dass mir so ein Beispiel unterkommt

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Wenn du bei einer Funktion den Wendepunkt berechnen möchtest, dann hast du vermutlich gelernt das man dafür die 2. Ableitung gleich null setzt.

Umgekehrt muss eine Funktion damit sie an einer Stelle einen Wendepunkt hat dort auch eine 2. Ableitung haben die Null wird.

Daher weißt du das wenn (1 | 2) ein Wendepunkt ist dann auch an der Stelle x = 1 die zweite Ableitung null sein muss.

Das bedeutet f''(1) = 0

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Ok und angenommen, der Wendepunkt wär nicht bei (1/2) sondern z. B. bei (4/6), dann würde das bedeuten: f''(4) = 0, oder? Oder lieg ich da falsch?

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Und was wäre, wenn ich den Wendepunkt (1/2) in dem Beispiel nicht gegeben hätte? Dann könnte man das Beispiel nicht lösen oder? Weil zu wenig Angaben wären

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Ok und angenommen, der Wendepunkt wär nicht bei (1/2) sondern z. B. bei (4/6), dann würde das bedeuten: f''(4) = 0, oder? Oder lieg ich da falsch?

richtig

Und was wäre, wenn ich den Wendepunkt (1/2) in dem Beispiel nicht gegeben hätte? Dann könnte man das Beispiel nicht lösen oder? Weil zu wenig Angaben wären

richtig

allerdings sind die meisten Aufgaben im Matheunterricht lösbar. Wenn eine nicht lösbar ist, hat man oder der Autor der Aufgabe eventuell etwas vergessen.

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Jetzt wirds schon verständlicher. Habs jetzt auch mit dem TR lösen können.

Habe jetzt so eingesetzt in den TR, bei den Gleichungen:

2 = a+b+1+3
0 = 6a+2b

Kannst du mir vielleicht noch sagen, warum man den angegebenen Wendepunkt (1/2) nicht in die abgeleitete Funktion einsetzen muss, sondern in die ursprüngliche?

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Weil ich dachte, weil es ein Wendepunkt ist, müsste ich einsetzen:

2 = 6*a*1 + 2*b und nicht 2 = a+b+1+3

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f''(1) = 0 → weil an der Stelle 1 ein Wendepunkt ist, ist dort die 2. Ableitung (Krümmung) gleich null.

f(1) = 2 → weil an der Stelle 1 die y-Koordinate 2 ist, ist der Der Funktionswert (y-Koordinate) gleich 2.

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Danke für deine Hilfe!

Answer 3

Nein, nur 2 für a und b.

f(1)= 2

f ''(1)= 0

f ''(x)= 6ax+2b

1) a+b+1+3= 2

a+b = -2

a= -2-b

2) 6a+2b=0

einsetzen:

6(-2-b)+2b =0

-4b = 12

b= -3

a= 1

Fläche: Integriere f(x) von 0 bis 2

F(x) = x^4/4 -x^3 +x^2/2+3x +C

[x^4/4 -x^3 +x^2/2+3x]von 0 bis 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E3-+3x%5E2%2Bx%2B3+from+0+to+2

Comments

Ich bin ziemlich verwirrt wegen dem f ''(1)= 0

Answer 4

Aloha :)$$f(x)=ax^3+bx^2+x+3$$

Wir wissen, dass der Punkt \((1|2)\) auf dem Graphen der Funkton liegt:$$2\stackrel!=f(1)=a+b+4\implies a+b=-2$$Außerdem ist dieser Punkt ein Wendepunkt:$$0\stackrel!=f''(1)=\left(ax^3+bx^2+x+3\right)''_{x=1}=\left(3ax^2+2bx+1\right)'_{x=1}=\left(6ax+2b\right)_{x=1}=6a+2b$$Wir dividieren die letzte Gleichung durch \(2\) und finden:$$0=3a+b=2a+\underbrace{(a+b)}_{=(-2)}=2a-2\implies a=1\stackrel{(a+b=-2)}{\implies} b=-3$$Die Funktion lautet also:$$f(x)=x^3-3x^2+x+3$$

Die Fläche des Graphen mit der \(x\)-Achse über dem Intervall \([0;2]\) ist damit:$$F=\int\limits_0^2\left(x^3-3x^2+x+3\right)dx=\left[\frac{x^4}4-x^3+\frac{x^2}2+3x\right]_0^2=4-8+2+6=4$$

~plot~ x^3-3x^2+x+3 ; {1|2} ; [[-1|3|-2|4]] ~plot~

Comments

Aber wie bist du auf f'' (1) = 0 gekommen?

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Bei einem Wendepunkt an der Stelle \((x,y)\) muss(!!!) die zweite Ableitung verschwinden, d.h. \(f''(x)=0\). Das ist eine notwendige Bedingung für Wendepunkte.