Beschreiben Sie die Beziehung zwischen einer kubischen und einer quartischen Funktion

Question

Beschreiben Sie die Beziehung zwischen einer kubischen und einer quartischen Funktion

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathefreunde,

gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

Text erkannt:

$ f(1,2)=2088 $
$ f(2,1)=1083,6 $
$ f(2,3)=696,1333333 $
$ f(5,6)=-10933,066667 $
$ -3^{*} a^{*} 1,2^{4}+-2^{\star} b^{\star} 1,2^{3}+-1^{*} c^{\star} 1,2^{2}+f(1,2)^{\star} 1,2=G(1,2) $
$ -3^{*} a^{\star} 2,1^{4}+-2^{\star} b^{\star} 2,1^{3}+-1^{*} c^{\star} 2,1^{2}+f(2,1)^{\star} 2,1=G(2,1) $
$ -3^{*} a^{\star} 2,3^{4}+-2^{\star} b^{\star} 2,3^{3}+-1^{*} c^{\star} 2,3^{2}+f(2,3)^{\star} 2,3=G(2,3) $
$ -3^{*} a^{\star} 5,6^{4}+-2^{*} b^{\star} 5,6^{3}+-1^{*} c^{*} 5,6^{2}+f(5,6)^{\star} 5,6=G(5,6) $
$ G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d\, \textcolor{red}{x}$ (edit korrektur)

Frage1: wie lauten die 2 Funktionen f(x) und G(x) ?

Frage2: wie ist die Beziehung dieser 2 Funktionen zueinander ? (Eine Zeichnung dazu wäre sehr schön).

(Diese Beziehung wurde hier in mathelounge bei einer meiner anderen Fragen von Moderator Profi Werner-Salomon bereits bewiesen.)

Vielen, vielen Dank im voraus für Eure Hilfe.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin

Gefragt 16 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner-Salomon,

ja, f(x) ist BEKANNT, aber ich habe / will doch hier einmal eine kubische Funktion zu einer quartischen Funktion integriert. Du hattes ja geschrieben, dass das Verfahren auch für höhere Polynome gilt und ich hatte es - diesesmal angefangen mit -3 ! - einmal ausprobiert, wusste aber nicht, ob SO auf diese Weise auch die Stammfunktion G(x) ebenfalls berechnet werden kann. Wir hatten ja zuletzt nur die Tangente berechnet.

Meine Frage war ja deshalb eine ANDERE / ANDERS formuliert: Kann man anhand dieses / meines Gleichungssystems + diesem Satz EBENFALLS integrieren ! Wenn DU also, - OHNE Anwendung der bereits bekannten Integration, - NUR anhand meines Gleichungssystem auf die exakt gleiche G(x) kämst, wüßte ich, das es passt.

Eine weitere Frage wäre dann nach einem Vorteil für dieses Verfahren.

Gute Nacht lieber Werner

Tschüß

Martin Hümer

Kommentiert 16 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner,

ich hatte gerade gelesen, dass Du hier auch noch eine Anmerkung gemacht hast. Ich hatte für diese Frage heute morgen ganz unten schon etwas geschrieben.

G(x) IST die Stammfunktion von f(x). Leider hatte ich aber statt .... d*x nur .... d in der Gleichung stehen. Muss aber jetzt i.O. sein.

Für f(x) sind 4 Werte vorhanden, also ergibt es eine KUBISCHE Funktion.

G(x) hat aber schon als Grad die 4.

also Integration OHNE die bekannten Integrationsregeln.

Die Unbekannten a, b und c für das Polynom und für G(x) kannst Du ANDERE Unbekannte nehmen,

Du hattest - zu / bei einer anderen Frage - ja schon geschrieben, dass es sich nur eine Umstellung und um nichts Neues handelt. Gilt das AUCH hier für die Integration ?

f(x) mit a*x³ + b*x² + c

und die

Stammfunktion G(x) mit e*x^4 + f*x³ + g*x² + h*x (MÜSSEN ANDERE ! Unbekannte sein)

Ich bitte nochmals um Entschuldigung. Ich habe leider OBEN bei G(x) FALSCHE Unbekannten aufgeschrieben.

Vielen Dank.

Martin Hümer

Kommentiert 23 Jan 2023 von MJHWL60

📘 Siehe "Integralrechnung" im Wiki

3 Antworten

Entschuldige bitte vielmals

Hallo wächter,

Ich habe diese Seite mit Bearbeiten, Seite durchsuchen aufgerufen und 2 Treffer erziehlt.

1x hier oben in dieser DEINER Antwort und 1x in meinem Text.

Mein Text "quadratische Funktion" bezog sich NUR auf das Gesamtprojekt und NICHT auf diese Aufgabe (weil es sich ja hier um kubische und QUARTISCHE Funktionen handelt). (Name ist ähnlich)

"Hut ab" für Deine Kenntnisse in geogebra.

Der ERSTE Link zu geogebra:

Dein Ergebnis für g(x) habe ich NICHT. Eigentlich müsste es die 1. Ableitung von G(x) sein oder entsprechend das berechnete f(x) der ersten 4 Zeilen des Gleichungssystems.

(Ich lass es aber erst einmal "so stehen", weil diese Aufgabe nur eine kurzfristige "dazwischen geschobene" Nebenrechnung war und dieses Ergebnis deshalb dafür erst einmal nicht so wichtig ist. Bei Gelegenheit werde ich vielleicht noch einmal darauf zurückkommen.)

ABER:

Der ZWEITE Link zu geogebra hat in Zeile 15 INTERESSANTERWEISE / MERKWÜRDIGERWEISE ! dann das RICHTIGE Ergebnis für G(x).

Ich werde demnächst eine neue "Frage" mit dem Anfang von allen Berechnungen aufmachen.

Vielen Dank

Martin Hümer

Kommentiert 24 Jan 2023 von MJHWL60

Ok, Du mußt Dich nicht entschuldigen, alles klar damit.

Der erste Link ist eine kommentierte Version zur Interpolation von kubischen Polynomen und hat erstmal nix mit Deiner konkreten Aufgabenstellung zu tun. Vielleicht willst Du damit experimentieren?

Ich hab die App nur als Vorlage genommen und Deine Angaben eingepflegt - darauf verweist der 2. Link. Es ist also nicht "merkwürdig" sondern Absicht ;-)...

Danke für die Rückmeldung - es gibt ein Update (auf dem 2. Link) damit die auf die ursprügliche Aufgabe bezogene Aussage, daß die Punkte verändert werden können und die Berechnung angepasst wird auch für Deine Aufgabe zutrifft. Dazu hab ich die Berechnung Deines f-Polynoms (f_a) vorangestellt. Dein G(x) heißt bei mir fo(x).

Ich mußte Deine Gleichungen umstellen damit alle Variablen linkseitig versammelt sind (f(x)->f_a(x) nach rechts G(x)->fo(x) nach links) - die Schablone fn(x) beschreibt den linken Term mit den Koeffizenen(-3,-2,-1).

A-> fn(x(A)) - fo(x(A)) = -f_a(x(A)) x(A)

analog B,C,D -> L Gleichungssystem

Den Rest besorgt die App...

Ach noch was, wenn Du die App behalten willst lade sie evtl. runter ich werde sie nach einiger Zeit runternehmen!

Kommentiert 24 Jan 2023 von wächter

Ein anderes Problem?

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lul · Answer 1 · 2023-01-16T13:59:34+0000

Hallo lieber lul,

1.) Beispiel:

ich benötige u.a. z.B. 4 Werte b1, b2, b3 und b4.

Brunner lässt aber nur Unbekannte mit einem Buchstaben zu, d.h. ich muss da improvisieren und leider 4 verschiedene Buchstaben benutzen, was das ganze unübersichtlicher macht.

In meinem ganzen Gleichungssystem ist desweiteren nur eine Konstante vorhanden. Ergebnis;

Bei Verringerung dieses Wertes ändern sich auch alle anderen Werte. Bei einer (theoretischen) Fläche von 0 hätten ALLE Unbekannten ebenfalls den Wert 0.

Es kommen vor: Sekanten, Tangenten, quadratische und kubische Funktionen, Integration.

2.) AUSSER meinem Gleichungssystem kann ich aber den professionellen mathematischen Rechenweg z.B. mit Summenformeln usw. nicht herleiten und keine Zeichung erstellen. Deshalb ist es sehr schwierig für mich, meine Gedanken bezüglich der KOMPLETTEN Aufgabe (hier 6 Teilaufgaben) mitzuteilen.

Ich war früher kaufmännischer Angestellter sogar ohne Abitur und Mathematik ist für mich schon seit langem NUR ein schönes Hobby.

Damit meine idee nicht für den Papierkorb ist, hatte ich laienhaft versucht, Euch das GESAMTPROJEKT über Teilaufgaben näher zu bringen, d.h. jede diese Aufgaben (so wie diese hier) MUSS dann auch einzeln für Jeden lösbar sein. Alle Werte für f(x) kommen dann aus einem anderen Teil, der hier für DIESE Berechnung nicht bekannt ist. Deshalb hatte ich für f(x) nur als Anfangsbedingung die passenden Werte VORDEFINIERT.

Es geht mir also hier nicht um das (mir bekannte) Ergebnis, sondern um Euren ausführlichen Rechenweg dorthin.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus für Deine Hilfe

Tschüß

Martin Hümer

Kommentiert 17 Jan 2023 von MJHWL60

Werner-Salomon · Answer 2 · 2023-01-22T20:17:17+0000

Hallo Martin,

$G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d^{*} x $
d.h. statt FALSCH nur d MUSS es d*x = lineares Glied heißen.

Ok - dann wird was draus.

Frage1: wie lauten die 2 Funktionen f(x) und G(x) ?

$$f(x)=\frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+2022x+1159,2 \\ G\left(x\right)=\frac{100}{6}x^{4}-\frac{1120}{3}x^{3}+1011x^{2}+1159.2x$$

Frage2: wie ist die Beziehung dieser 2 Funktionen zueinander ? (Eine Zeichnung dazu wäre sehr schön).

$G(x)$ ist die Stammfunktion von $f(x)$ und das ist auch keine Überraschung, wenn man das Gleichungssystem umstellt. Ich bezeichne jede der Stützstellen ganz allgemein mit $x$. Dann steht dort für vier verschiedene Werte$$-3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)=G(x)$$Und $G(x)$ ist laut der Vorgabe $G(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$; und das setze man ein und stellt die Gleichung etwas um:$$\begin{aligned} -3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)&=G(x) &&\left|\, G(x)= \dots\right.\\ -3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)&=ax^4+bx^3+cx^2 + dx &&\left|\, +3ax^4 + \dots\right.\\ xf(x)&=4ax^4+3bx^3+2cx^2 + dx &&\left|\,\div x\right.\\ f(x)&=4ax^3+3bx^2+2cx + d &&\left|\,\int \right. \\ \int f(x)\,\text{d}x &= ax^4+bx^3+cx^2+dx \\ \int f(x)\,\text{d}x &= G(x) \\ \end{aligned}$$und heraus kommt die Stammfunktion von $f(x)$. Das ist ganz allgemein gültig, egal welche vier unterschiedlichen Stützstellen man wählt!

Und dies hat auch eine Beziehung zu dem 'Satz von Martin' ;-), den ich in meiner Antwort zu Berechnung einer kubischen Funktion formuliert habe.

Ich postuliere die dort erwähnte Abbildung eines Polynoms als Abbildung $H$. Sei $p$ ein (beliebiges) Polynom der Form$$p(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} c_{k} x^k $$dann ist die Abbildung $H(p)$$$H(p(x)) = H\left(\sum\limits_{k=0}^{n} c_{k} x^k\right) = \sum\limits_{k=0}^{n} c_{k}(1-k) x^k$$Dann ist $H(p)$ so ähnlich wie die rechte Seite der obigen Gleichungen. Wenn man das einsetzt ergibt sich daraus:$$H(p) + xp'(x) = p(x) \\ \implies H(p) = p(x) - xp'(x)$$und dies ist genau der Schnittpunkt der Tangente an $p$ an der Stelle $x$ mit der Y-Achse.

Gruß Werner

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