Welche Stammfunktion F von f (x) hat bei x = 2 eine Nullstelle?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f (x) = 4x – ½ x^2, (x ∈ ℝ)

a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (x) und die Normale „n (x)“ zum Graphen f (x) im Punkt P (2/ f (2)).

b) Beweisen Sie: Die Normale „n (x)“ schneidet die Koordinatenachsen so, dass sie mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck mit dem Flächeninhalt = 49 bildet.

c) Welche Stammfunktion F von f (x) hat bei x = 2 eine Nullstelle?

d) Um welchen Wert müsste die Normale „n (x)“ in „y“-Richtung verschoben werden, damit sie den Graphen von f (x) berührt?

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht (nur c) oder das was weiter unten in der Aufgabe steht (a bis d)?

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Bitte, Lösubgsweg für die ganze Aufgabe

Vielen Dank

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Nur den Lösungsweg oder auch die Lösung?

Answer 1

a. n(2) = (x-2)*f '(2) +f(2)

b. Berechne n(x)= 0 = a und n(0) =b

A= a*b/2

c. F(x) = 2x^2 -1/6*x^3+C

F(2) =0

2*2^2-1/6*2^3+C = 0

C= -8+8/6 = -48//6 + 8/6 = -40/6 = -20/3

d. ...

Comments

Na, ja, Danke für die Resultaten

Aber ich brauche deteilierten Lösungsweg zu der ganzen Aufgabe ...

Schöne Grüsse

Answer 2

a) Skizze

~plot~ 4x-0.5x^2;-0.5(x-2)+6;-0.5(x-2)+9.125;2(x-2)+6;[[0|16|0|11]] ~plot~

b)
A = 1/2·7·14 = 49

c)
F(x) = 2·x^2 - 1/6·x^3 - 20/3

d)
3.125

Comments

Schönen Dank für den profi Graph, aber ich konnte ihn selbelber zeichnen ...

Bitte um ausfürlichen/ deteilierten Rechenweg der weiteren Aufgaben

Vielen Dank im Voraus

Answer 3

f (x) = 4x – ½ x^2
Stammfunktionen
s ( x ) =  4 * x^2 / 2 - 1/2 * x^3 / 3 + c
s ( x ) =  2 * x^2  - 1/6 * x^3  + c
Nullstelle bei x = 2
s ( 2 ) =  2 * (2)^2  - 1/6 * (2)^3  + c = 0
c = - 20 / 3

Answer 4

\( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x \)

\( f^{\prime}(x)=-x+4 \)

\( f^{\prime}(z)=2 \)

\( f(2)=6 \)

\( \left( \begin{array}{l} 2 \cdot m_{n}=-1 \\ \Rightarrow m_{n}=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow n_{t}(x)=-\frac{1}{2} x+t \end{array} \right) \)

b) \( 6=-\frac{1}{2} \cdot 2+t \quad n(x)=-\frac{1}{2} x+7 \)

\( t=7 \quad 0=n(x) \)

\( \Rightarrow s_{7}(0|7) \quad \Rightarrow S_{x}(14 | 0) \)

\( A_{\Delta}=0,5 \cdot 7 \cdot 14 \)

\( A_{\Delta}=49 F E \)

c) \( F_{c}(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x^{2}+c \)

\( 0=-\frac{1}{6} \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{2}+c \)

\( \Rightarrow c=-\frac{20}{3} \)

\( F(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x^{2}-\frac{20}{3} \)

d) \( -\frac{1}{2} x+7+ \Delta y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x \)

\( 0=-\frac{1}{2} x^{2}+4,5 x-(7+ \Delta y) \)

Diskrimin. \( =b^{2}-4 \cdot a \cdot c \quad \) (Wenn \( D=0 \), dann 1SP)

\( 0=4,5^{2}-4 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(-7-\Delta y) \)
\( 0=4,5^{2}-14 - 2 \Delta y \)
\( \Delta y=3,125 \)

Der Graph muss um 3,125 Einheiten nach oben verschoben werden.

\( \Rightarrow n(x)=-\frac{1}{2} x+17,125 \)

Comments

Lieber Matymat,
herzlichen Dank für die gute und ausführliche Lösungswege, speziell Aufg, 1/d.)
Sie müssten nur den „y“-Achsenabschnitt in Ihrer letzten „n(x)“-Gleichung bei 1/d.) korrigieren.
Beste Wünsche

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Hi, danke für das Feedback.

Der y-Achsenabschnitt sollte eigentlich bei 10,125 sein.

Ich glaube dann sollte es passen.

Gruß Mat