Steckbriefaufgabe mit Tiefpunkt (0|0), 3. Grades

Question

Bestimme die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den geforderten Eigenschaften.

O(0|0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen,

2 ist Wendestelle,

die zugehörige Wendetagente hat die Steigung 4

Problem: Was mach ich mit dem Tiefpunkt. Einmal ist er ja ein Punkt auf dem Graphen P(0|0) mit f(0) = 0  und einmal f'(0) = 0...

Tiefpunkt	f'(0) = 0	a = 0 (?)
Wendepunkt an Stelle 2	f''(2) = 0	12a + 2b =0
Steigung Wendetagente: 2	f''(2) = 4 (?)	12a + 2b = 4
P(0|0) liegt auf Graphen	f(0) = 0	d = 0 (?)

Eventuell könnt ihr mir auch die erweiterte Koeffizientenmatrix und die reduzierte Zeilenstufenform angeben.
(Ich hatte als Ergebnis -> Funktion: f(x) = 1, glaube aber das ist falsch

Answer 1

Eigenschaften

f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(2) = 0
f'(2) = 4

Gleichungssystem

d = 0
c = 0
12a + 2b = 0
12a + 4b + c = 4

Errechnete Funktion und Ableitung(en)

f(x) = -1/3·x^3 + 2·x^2
f'(x) = -x² + 4·x
f''(x) = -2·x + 4
f'''(x) = -2

Für andere Aufgaben benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Answer 2

"O(0|0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen, x=2 ist Wendestelle, die zugehörige Wendetagente hat die Steigung 4"

O(0|0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen:

f(x)=a x^2(x-N)=a x^3-a N x^2

f´(x)=3ax^2-2aNx

f´´(x)=6ax-2aN

x=2 ist Wendestelle:

f´´(2)=6a*2-2aN

6a*2-2aN=0  →12a-2aN=0 → 6a-aN=0  →  N=6

Wendetagente hat die Steigung 4:

f´(2)=3a*2^2-2aN*2

12a-2a*6*2=4 →12a-24a=4 →-12a=4 → a=-\( \frac{1}{3} \)

f(x)=-\( \frac{1}{3} \) x^3+\( \frac{1}{3} \) *6 x^2

f(x)=-\( \frac{1}{3} \) x^3+2x^2

Comments

O(0|0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen, x=2 ist Wendestelle, die zugehörige Wendetagente hat die Steigung 4"

Ein anderer Zugang:

\(f(x)=a[x^2(x-N)]=a[x^3-Nx^2]\)

\(f'(x)=a[3x^2-2Nx]\)

\(f''(x)=a[6x-2N]\)

\(x=2\) ist Wendestelle:

\(f''(2)=a[12-2N]=0\)

\(N=6\)

Wendetagente hat die Steigung 4:

\(f'(2)=a[12-24]=-12a=4\)

\(a=-\frac{1}{3}\)

\(f(x)=-\frac{1}{3}[x^3-6x^2]\)