Ableitung-Quotienregel vereinfachen bzw. zusammenfassen

Question

Aufgabe:

habe folgende Funktion zu der ich die Ableitung bilden soll:

\(f(x)=\dfrac{\cos(x)+1}{\sin(x)-1}\)

Problem/Ansatz:

Kriege leider immer das falsche Ergebnis heraus, wenn ich die Ergebnisse so weit wie möglich vereinfachen möchte.

f(x)'= -sin(x)*(sin(x)-1)-(cos(x)+1)*cos(x)

Hätte es wie folgt vereinfacht für den Zähler

-sin² (x)+sin(x)-cos² (x)-cos(x)

Answer 1

\( f(x)=\frac{\cos (x)+1}{\sin (x)-1} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{-\sin (x) \cdot(\sin (x)-1)-(\cos (x)+1) \cdot \cos (x)}{(\sin (x)-1)^{2}} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{-\sin ^{2}(x)+\sin (x)-\cos ^{2}(x)-\cos (x)}{(\sin (x)-1)^{2}} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{\sin (x)-\cos (x)-1}{(\sin (x)-1)^{2}} \)

Answer 2

So: f(x)= cos(x)+\( \frac{1}{sin(x)} \) -1

f´(x)=-sin(x)+\( \frac{0*sin(x)-cos(x)}{sin^2(x)} \)=-sin(x)-\( \frac{cos(x)}{sin^2(x)} \)

oder: f(x)= cos(x)+\( \frac{1}{sin(x)-1} \) 

Comments

Vielen Dank, aber wahrscheinlich konnte man nicht erkennen, dass die Funktion so aussieht.

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Dann setz doch Klammern!

Answer 3

Der Zählerterm der Ableitung ist richtig und die Vereinfachung auch. (Die Schreibweise sollte allerdings überarbeitet werden.) Man kann noch weiter vereinfachen.

Answer 4

\(f'(x)\\=\dfrac{-\sin^2 (x)+\sin(x)-\cos^2 (x)-\cos(x)}{(1-\sin x)^2}\\=\dfrac{-1+\sin x -\cos x}{(1-\sin x)^2}\)

Answer 5

mit Rechenweg:

https://www.ableitungsrechner.net/

Mit Produktregel:

f(x)= (cos(x)+1)*(sin(x)-1)^(-1)

u= cos(x)+1 -> u' = -sin(x)

v= (sin(x)-1)^(-1) -> v'= (sin(x)-1)^(-2)*cos(x)

f '(x)= u'v+u*v'

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