Ableitung einer Funktion mit Summe: f(x) = x * ∑∞n=1 (x^2 + 2)^{-n}

Question

ich muss eine Funktion mit ner Summe drinne ableiten und weiß nicht, wie ich das angehen soll:

 

f(x) = x * ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n

 

Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen kann :)

Comments

Tipp: Die Ableitung ist linear, d.h. D(f+g)= D(f)+D(g), genau so geht es mit summen D(∑f_n)=∑(Df_n).

Anders gesagt: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

 

PS: mit D(f) meine ich die Ableitung von f.

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Das gilt für endliche Summen aber i.A. nicht für unendliche Reihen.

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Hat diese Reihe den Konvergenzradius unendlich?

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eig. ist es weniger kompliziert, wenn man erkennt, dass dies eine geometrische Reihe ist  ^^

Answer 1

f(x) = x * ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n

(ohne Gewähr) Benutze die Produktregel
f ' (x)  = 1* ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n + x * ∑^∞_n=1 (-n) (x² + 2)^-n-1 * 2x

2x hinten kommt von der Ableitung von x^2 + 2 (innere Ableitung)

f ' (x)  = 1* ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n + x * ∑^∞_n=1 (-n) (x² + 2)^-n-1 * 2x

f ' (x)  = 1* ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n + 2x^2 * ∑^∞_n=1 (-n) (x² + 2)^-n * (x^2 + 2)^(-1)

f ' (x)  = 1* ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n + 2x^2 / (x^2 + 2) * ∑^∞_n=1 (-n) (x² + 2)^-n

usw. Bitte nachrechnen.

Comments

eig. ist es weniger kompliziert, wenn man erkennt, dass dies eine geometrische Reihe ist  ^^

Ich befolge mal noch den Rat von qarim.

f(x) = x * ∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n

s=∑^∞_n=1 (x² + 2)^-n 
ist GR mit a1 = 1/(x^2 + 2) und q = 1/(x^2 + 2)
s= 1/(x^2 + 2) * 1/(1- 1/(x^2+2))

 

s= 1/(x^2 + 2) * 1/((x^2 +1)/(x^2+2))

s= 1/(x^2 + 2) * (x^2+2)/(x^2 +1)

= 1/(x^2 + 1)

Daher f(x) = x/(x^2 + 2) und nun Quotientenregel benutzen.