Wie beschreibe ich die Menge D aller z € C, z ≠ 1 für die Reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))^n?

Question

Die Aufgabe lautet Beschreiben Sie in möglichst einfacher Weise die Menge D aller z ∈ ℂ, z ≠ 1, für die Reihe

∑∞_n=0 (z/(1-z))ⁿ   konvergiert.

Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll.

Comments

vgl. auch https://www.mathelounge.de/8112/zeigen-sie-dass-die-funktion-∑n-o-bis-unendlich-z-n-stetig-ist

Answer 1

Ich nehme an, du kennst die Summenformel für

∑∞_n=0 qⁿ?
Die ist konvergent, wenn |q| < 1.

In diesem Fall muss also gelten:

$$ \left| \frac { z } { 1 - z } \right| < 1 $$

Schreiben wir z in der Form z=x+iy, dann erhält man:

$$ \begin{array} { c } { \frac { | x + i y | } { | 1 - x - i y | } < 1 } \\ { \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } < 1 } \end{array} \\ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < ( 1 - x ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ { x ^ { 2 } < 1 - 2 x + x ^ { 2 } } \\ { 2 x < 1 } \\ { x < \frac { 1 } { 2 } } \end{array} $$

Es handelt sich also um die Menge der komplexen Zahlen, deren Realteil kleiner ist als 1/2.

D = {z∈ℂ: Re(z) < 1/2}

Answer 2

Vermutlich muss da |z/(1-z)| < 1 sein.

Wenn du das weisst, kannst du umformen auf

|z| < |z- 1|

Wenn du ausserdem weisst, dass Betrag einer Differenz den Abstand 2er Zahlen in der komplexen Zahlenebene ist, kannst du erst mal die Gleichung

|z - 0| = |z- 1|

betrachten und die Mittelsenkrechte zwischen 0 und 1 einzeichnen. Also durch z=0.5 + 0i

Nun schraffierst du das Gebiet links von dieser Mittelsenkrechten.

Eine rechnerische Lösung ist ja schon vorhanden.