Berechnen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion minimalen Grades, die diese Bedingungen erfüllt.

Question

Aufgabe:

Für den Graphen einer ganzrationalen Funktion f gilt=

- A (3/4) ist ein Hochpunkt.

- Der Graph verläuft durch den Punkt B (10/-17:8).

- Die Tangente in B hat eine Steigung von -63:8.

a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion minimalen Grades, die diese Bedingungen erfüllt. Dokumentiere Sie ihren Arbeitsweg aorgfältig.

Problem/Ansatz:

Ich hab erst gedacht, es handelt sich um eine lineare Funktion, aber dann steht dort Hochpunkt bei Punkt A... Kann mir jemand erklären wie man die Funktionsgleichung berechnen könnte?

Hab auch schon die Tangentengleichung bestimmt=

t(x)=-63:8*x+618:8

Comments

Wie bereits gesagt gibt es dann unendlich viele Funktionen. Z.B.

f(x) = -5/196·x^4 + 211/392·x^3 - 1555/392·x^2 + 4713/392·x - 3463/392

Answer 1

Hallo Emma,

erst einmal musst du gucken, wie viele Informationen gegeben sind.

- A (3/4) ist ein Hochpunkt.

Das sind zwei Informationen:

f(3)=4 und f'(3)=0

- Der Graph verläuft durch den Punkt B (10/-17:8).

Eine Information:

f(10)=-2,125

 - Die Tangente in B hat eine Steigung von -63:8.

Eine Information:

f'(10)=-7,875

Da du nun vier Gleichungen hast, kann die gesuchte Funktion vier zu bestimmende Parameter haben, also

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

:-)

Comments

Hab alles verstanden, vielen vielen Dank :)

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Ich hab da eine Frage.. Punkt A ist ja ein Hochpunkt, aber wenn ich die Endgleichung ((-1:8)*x³+15:8*x²-63:8*x+113:8) aufzeichne, ist A ein Tiefpunkt...

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Da hast du recht.

In "A(3|4) Hochpunkt" steckt auch noch die Information f''(3)<0, die nicht berücksichtigt wurde. Dann muss es wohl eine Funktion vierten Grades sein.

Leider gibt es dann keine eindeutige Lösung. Für f''(3)=-2 gibt es eindeutige Werte, aber für f''(3)=-1 andere.

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Wie würde man das mit dem 4. Grad machen :/

Muss man dann nur die zweite Ableitung bestimmen und dann nur Punkt A einsetzen in die Funktion?

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f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Das wird eine ziemlich aufwendige Rechnung.

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Könntest du mir ein Ansatz geben wie man das lösen könnte.. Kriege langsam Kopfschmerzen von dieser Aufgabe :/

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Schau mal hier rein:

https://www.matheretter.de/rechner/lgs?lgs=5&1v=81&1w=27&1x=9&1y=3&1z=1&1c=4&2v=108&2w=27&2x=6&2y=1&2z=0&2c=0&3v=108&3w=18&3x=2&3y=0&3z=0&3c=-1&4v=10000&4w=1000&4x=100&4y=10&4z=1&4c=-2.125&5v=4000&5w=300&5x=20&5y=1&5z=0&5c=-7.875

Ich habe für f''(3) = -1 gewählt. Nimmst du eine andere Zahl kleiner null, verändern sich die Werte entsprechend.

Graphisch sieht das so aus:

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Ich hab die Lösung schon raus.. hab -1 genommen und -2 zum testen.... Kein Hochpunkt beim Punkt 3/4. Wenn man 3 als x einsetzt, kommt zwar 4 raus aber halt nicht als Hochpunkt...

Answer 2

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(3)=4
f'(3)=0
f(10)=-17/8
f'(10)=-63/8

Gleichungssystem

27·a + 9·b + 3·c + d = 4
27·a + 6·b + c = 0
1000·a + 100·b + 10·c + d = -17/8
300·a + 20·b + c = -63/8

Errechnete Funktion

f(x) = -0,125·x^3 + 1,875·x^2 - 7,875·x + 14,125
f(x) = - 1/8·(x^3 - 15·x^2 + 63·x - 113)

Comments

Ich habs verstanden. Vielen Dank :)

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Ich hab genau die selbe Gleichung erhalten, doch wann ich den Graphen zeichne, ergibt Punkt A ein Tiefpunkt, obwohl dieser Punkt ein Hochpunkt sein müsste...

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Wenn A kein Hochpunkt ist wie gewünscht, dann gibt es keine Funktion 3. Grades. Damit bräuchtest du mind. eine Funktion vierten Grades. Dazu brauchten wir allerdings noch eine Bedingung. Da diese nicht gegeben ist, ist die Funktion nicht eindeutig. Damit sollte beim Lehrer nachgefragt werden wie man vorgehen soll.

Man könnte z.B. die Bedingung

f''(3) < 0 einfügen

Also z.B.

f''(3) = - 1

Wie gesagt könnte man hier natürlich jeden Wert nehmen der kleiner als Null ist.

Answer 3

Es wird eine Funktion "minimalen Grades" verlangt. Da Du erkannt hast, dass es keine lineare Funktion sein kann, versuche eine 2. Grades

y = ax² + bx + c

Das Gleichungssystem lautet

a*3² + b*3 + c = 4

2a*3 + b = 0

a*10² + b*10 + c = -17 / 8

2a*10 + b = -63 / 8

und hat keine Lösung.

Versuche darum dann 3. Grad

y = ax³ + bx² + cx + d

und Du wirst vielleicht eine Lösung finden. Wenn nicht, dann versuche 4. Grad.

Comments

Könnten Sie einmal erläutern wie Sie auf 2a*3... und 2a*10 kamen? Verstehe ich gerade nicht..

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Das ist die erste Ableitung, da Angaben zur Steigung gemacht worden sind (beim Hochpunkt ist sie gleich Null).

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aber das erklärt nicht warum dort eine 2 ist...

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Doch, das 2 kommt von der Ableitung des quadratischen Summanden.

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Achso ja, komplett vergessen. Danke :)

Answer 4

"Für den Graphen einer ganz rationalen Funktion f gilt=

- A (3|4) ist ein Hochpunkt.

- Der Graph verläuft durch den Punkt B (10|-\( \frac{17}{8} \) ).

- Die Tangente in B hat eine Steigung von -\( \frac{63}{8} \)"

Ich verschiebe den Graph von f um 4 Einheiten nach unten:

A ´(3|0) ist ein Hochpunkt.(doppelte Nullstelle)     und  B´ (10|-12,125)

p(x)=a*(x-3)^2*(x-N)

p(10)=a*(10-3)^2*(10-N)=49a*(10-N)

1.)49a*(10-N)=-12,125

p´(x)=a*[2*(x-3)*(x-N)+(x-3)^2]

p´(10)=a*[2*(10-3)*(10-N)+(10-3)^2]

2.)a*[2*(10-3)*(10-N)+(10-3)^2]=-\( \frac{63}{8} \)

Nun a und N ausrechnen.

Am Schluss wieder 4 Einheiten nach oben verschieben.