Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z = 10^{2021} gilt?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die lineare Funktion y = f(x) = 3x+7. Aus den Werten von f werden die Werte von z = f(a) + f(a+1) + f(2a+3) berechnet.

Frage 1: Bestimme einen Term für z in Abhängigkeit von a, der das Symbol f nicht mehr enthält.

Frage 2: Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z = 10²⁰²¹ gilt?

Frage 3: Gibt es eine natürliche Zahl, für die z durch 2021 teilbar ist?

Problem/Ansatz:

Ist es richtig, dass ich (3x+7) immer anstelle von a einsetzen muss? Hieße z = f(3x+7) + f(3x+7+1) + f (2(3x+7)+3

z= 12 x + 32?

Was ist der Ansatz um Frage 2 und 3 zu lösen?

Answer 1

Es ist \(z=12a+33\).

2. Frage:

Gibt es eine natürliche Zahl \(a\)

\(12a+33=10^{2021}\) ?

Betrachten wir diese Gleichung modulo 33:

\(12a\equiv 10^{2021}=100^{1010}\cdot 10\equiv 1^{1010}\cdot 10=10\) mod \(33\).

Es müsste also eine ganze Zahl \(b\) geben mit

\(12a-10=33b\), d.h. \(3(4a-11b)=10\). Das ist aber unmöglich, da 10

nicht durch 3 teilbar ist.

3. Frage:

12 und 2021 sind teilerfremd, daher liefert der euklidische Algorithmus natürliche Zahlen

\(A,B\) mit \(1=2021B+12(-A)\). Nun setze man \(a=33A, b=33B\),

dann hat man \(2021b=12a+33\)

Comments

Müsste es nicht z = 12a + 19 sein, denn es ist 3x+7 und nicht 3(x+7)?

Danke :)

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\(z=3a+7+3(a+1)+7+3(2a+3)+7=12a+33\)

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Was ist wenn

Gibt es eine natürliche Zahl A, für die Z im üblichen Zehner-System eine 2021-stellige Zahl mit 2021 gleichen Ziffern ist

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Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z im üblichen Zehner-System eine 2021-stellige Zahl mit 2021 gleichen Ziffern ist?

Woher stammt die Aufgabe?

O, wie ich sehe, ist das eine Aufgabe aus der "61. Mathematik-Olympiade 1. Runde (Schulrunde)". Sind die Lösungen nicht schon veröffentlicht?

Answer 2

Ist es richtig, dass ich (3x+7) immer anstelle von a einsetzen muss?

Nein, das ist nicht richtig. Es muss a, (a+1) und (2a+3) anstelle von x in f(x) eingesetzt werden.

Comments

Wie kommt man drauf?

Der genaue Rechenweg würde mich interessieren.

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Das steht doch da:

z(a) = f(a) + f(a+1) + f(2a+3)

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Mich würde interessen, wie man auf solche Aufgaben kommt, welchen Sinn sie

haben und in welchem Bereich sie vorkommen (praktisches Beispiel).

Und wie ist das mit z= 10^2021?

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Über den Ursprung der Aufgabe kann vielleicht der Frager Auskunft geben, die Sinnfrage kann ich nicht beantworten und die Gleichung z(a)=10^{2021} wird sich als lineare diophantische Gleichung entpuppen.