Zum Beispiel wie du dies einzeichnest?
Ich unterstelle zunächst mal, dass Dir der Ausdruck $$M_2=\{(x,\,y) \in \mathbb R^2|\space -1\lt y\lt 1,\, |y|\le x \le |y|+1\}$$geläufig ist. Falls nicht, so frage nach.
Nehmen wir mal nur den Part \(|y| \le x\). Es sind also Paare von \((x,\,y)\) gesucht, die diese Ungleichung erfüllen. Der Term \(|y|\) ist immer größer oder mindestens gleich \(0\). D.h. Punkte mit einem negativen Wert für \(x\) kommen da nicht drin vor.
Ist \(y=x \land x \ge 0\), dann ist die Gleichung in jedem Fall erfüllt. Und das ist die Winkelhalbierende des 1.Quadranten. Für \(-y=x \land x \ge 0 \) gilt das wegen der Betragsfunktion genauso. Und diese Funktion ist die Winkelhalbierende des 4.Quadranten \((x\ge 0 \land y \le 0)\). Das sieht dann so aus.
Alles Punkte im roten Bereich inklusive der beiden WInkelhalbierenden erfüllen die Ungleichung \(|y| \le x\).
Die Ungleichung \(x \le |y| +1 \) kann man umformen zu \(x-1 \le |y|\). Wenn ich also nur den Teil \(x-1=|y|\) betrachte ist das die um den Wert \(1\) in's Positive verschobene Relation von oben. Weiter hat sich die Ungleichung 'umgedreht'; aus einem \(|y| \le \dots\) ist \(\dots \le |y|\) geworden. Damit gehören nun alle Punkte links von der Grenze zu der Menge.
Kombiniere (undiere) ich beides, komme ich zu dem oben gezeichneten Pfeil, der nach links zeigt.
... aber weshalb hast du den Pfeil gedreht?
ich habe nichts gedreht!?
und schlußendlich wird das Gebiet der Menge noch durch \(-1\lt y \lt 1\) eingeschränkt.
Und leider verstehe ich den Zusammenhang mit abgeschlossen/offen und den Rändern nicht..
Den Rand einer Menge nennt man geschlossen, wenn es Elemente der Menge gibt, die auf dem Rand liegen. Z.B. beim Intervall \([0\dots 1]\). Die Zahlen \(0\) und \(1\) liegen auf dem Rand.
Sind alle Ränder einer Menge geschlossen, so ist die Menge abgeschlossen. Somit beschreibt das Intervall \([0\dots1]\) eine abgeschlossene Menge.
Liegt kein Element der Menge auf dem Rand, so nennt man den Rand 'offen'. Beispiel \((0\dots 1)\) beschreibt die Menge aller Zahlen zwschen \(0\) und \(1\), aber die Zahlen \(0\) und \(1\) selbst gehören nicht zur Menge dazu. 'offen' deshalb, da jedes Element der Menge wieder von anderen Elementen der Menge umgeben ist. Das gilt auch für Elemente, die ganz dicht am Rand liegen. Zwischen einer beliebigen Zahl \(a \approx 1\) mit \(a \in (0\dots 1)\) kann man immer noch ein Element b finden, mit$$b = \frac{1+a}2$$für das gilt $$a \lt b \lt 1 \implies b \in (0\dots 1)$$D.h. es existiert an diesem Rand kein Element, was auf dem Rand liegt. Der Rand ist 'offen' weil in der Umgebung von jedem Element wieder andere Elemete der selben Menge liegen.
Sind alle Ränder einer Menge offen, so spricht man von einer offenen Menge.
Da eine Menge aber oft mehr als einem Rand hat - im Beispiel von \(M_2\) sind es vier - kann eine Menge sowohl offene als auch geschlossenen Ränder haben. Damit ist dann diese Menge weder offen noch abgeschlossen!
Welche Ränder das im Falle von \(M_2\) sind, siehst Du selber - oder?
