Hallo :-)
Leider ist dein Taylorpolynom falsch.
Es lautet:
\(T_3(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3=x+x^2+\frac{x^3}{3}\).
Entweder man sieht wie man
$$ R_3(x):=|T_3(x)-f(x)| $$ direkt abschätzen kann oder du benutzt eine Abschätzung zb nach Lagrange: Für \(x_0=0\) und \(\xi\) zwischen \(x\) und \(x_0\) hat man:
$$\begin{aligned} R_3(x)&=\left | \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\cdot (x-x_0)^4\right|\\&=\left | \frac{f^{(4)}(\xi)}{24}\cdot (x-0)^4\right|\\&=\frac{1}{24}\cdot \left | f^{(4)}(\xi)\cdot x^4\right|\\&=\frac{1}{24}\cdot \left | -4e^{\xi}\sin(\xi)\cdot x^4\right|\\&=\frac{1}{6}\cdot \left |e^{\xi}\sin(\xi)\cdot x^4\right|\\&\stackrel{\frac{-1}{100}\leq x\leq \frac{1}{100}}{\leq} \frac{1}{6}\cdot \left | e^{\xi}\sin(\xi)\cdot \left(\frac{1}{100}\right)^4\right|\\&=\underbrace{\frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot |e^{\xi}\sin(\xi)|}_{=:F}\\&=\frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot \underbrace{|e^{\xi}|}_{<6}\cdot \underbrace{|\sin(\xi)|}_{\leq 1}\\&<\frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot 6\cdot 1=10^{-8} \end{aligned}$$
Und falls du sogar schon \(|\sin(t)|\leq |t|, \forall t\in \mathbb{R}\) kennst, so kannst du \(F\) noch ein wenig schärfer abschätzen. Nämlich:
$$ \begin{aligned}R_3(x)&\leq ...\text{siehe oben}... \leq F\\&=\frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot |e^{\xi}\sin(\xi)|\\&=\frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot |e^{\xi}|\cdot |\sin(\xi)|\\&\leq \frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot |e^{\xi}|\cdot |\xi|\\&\leq \frac{1}{6\cdot 10^8}\cdot |e^{\xi}|\cdot \frac{1}{100}\\&=\frac{1}{6\cdot 10^{10}}\cdot |e^{\xi}|\\&<\frac{1}{6\cdot 10^{10}}\cdot \underbrace{e^{\frac{1}{100}}}_{\text{und } 1<e^{\frac{1}{100}}<3}\\[30pt]&<\frac{3}{6\cdot 10^{10}}=\frac{1}{2}\cdot 10^{-10}\end{aligned} $$
