Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: lim(x gegen 0) ((e^x -1-xe^{x/2})/x^2

Question

Bestimmten Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1+\cos (\pi x)}{x^{2}-2 x+1} \)
(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos (3 x))}{\ln (\cos (2 x))} \)
(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} \)
(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x(\ln (1+\sqrt{x^{2}+1})-\ln x) \)
(e) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)+2 x}{\cos (x)+2 x} \)

Comments

Tipp zu (e): Teile oben und unten durch x.
Dann bekommst du im Grenzwert (0+2)/(0+2) = 1.

Answer 1

a) L'Hospital-Fall "0/0", also:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1+cos(\pi x) }{ { x }^{ 2 }-2x+1 }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \pi *(-sin(\pi x)) }{ 2x-2 }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { \pi  }^{ 2 }*(-cos(\pi x)) }{ 2 }  }$$$$=\frac { { \pi  }^{ 2 } }{ 2 }$$

b) L'Hospital-Fall "0/0", also:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { ln(cos(3x)) }{ ln(cos(2x)) }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1 }{ cos(3x) } *3*(-sin(3x)) }{ \frac { 1 }{ cos(2x) } *2*(-sin(2x)) }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 3*(-sin(3x))*cos(2x) }{ 2*(-sin(2x))*cos(3x) }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 3*3*(-cos(3x))*cos(2x)+3*2*(-sin(3x))*(-sin(2x)) }{ 3*2*(-sin(3x))*(-sin(2x))+2*2*cos(3x)*(-cos(2x)) }  }$$$$=\frac { 3*3*(-1)*1+3*2*0*0 }{ 3*2*0*0+2*2*1*(-1) }$$$$=\frac { 9 }{ 4 }$$

c) L'Hospital-Fall "0/0", also:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1-x{ e }^{ \frac { x }{ 2 }  } }{ { x }^{ 2 } }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-{ e }^{ \frac { x }{ 2 }  }(1+\frac { x }{ 2 } ) }{ { 2x } }  }$$$$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-{ e }^{ \frac { x }{ 2 }  }(1+\frac { x }{ 4 } ) }{ { 2 } }  }$$$$=0$$

d) und e) sind richtig verzwackt, das  spar ich mir auf für später ... :-)

Hinweis: e ) ist ein beliebtes Beispiel für das Versagen der Regel von L'Hospital

Comments

Die d) wurde bereits vor Kurzem gelöst ;).

https://www.mathelounge.de/86270/grenzwert-lim-x-ln-1-sqrt-x-2-1-ln-x-x-unendlich

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Hat sich erledigt.

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Von 2 nach 3 wurden wie ich das sehe nur die Doppelbrüche aufgelöst.

(a/b) / (c/d) = (a * d)/(b * c)

Man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

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Danke für die Antwort. Hatte das kurz nach meinem Kommentar auch gesehen. Mein Problem war vermutlich, dass ich schon zu sehr an die nächste Ableitung gedacht hatte, die aber erst im nächsten Schritt kommt.