Komplementäre Untervektorraum

Question

Aufgabe:

U1:(x,0,z,0)ιx,z∈ℝ und U2(0,y,0,t)Ι y,t∈ℝ

Zeige dass U1 und U2 komplementäre Untervektorräume sind.

Problem/Ansatz:

ich weiss nicht wie ich es zeigen kann. bzw wie ich es aufschreiben soll.

mir ist klar dass die Bed. für kompl. Untervektorräume

1) U1 und U2 =(0)  Schnittpunkt muss der nullvektor sein.

2)⟨U1,U2⟩=ℝ^4

aber wie gehe ich ran an die aufgabe ?

Answer 1

Sei \(v\in U_1\cap U_2\). Dann gibt es \(x,y,z,t\in \mathbb{R}\) mit

\(v=(x,0,z,0)\) und zugleich \(v=(0,y,0,t)\).

\((x,0,z,0)=(0,y,0,t)\Rightarrow x=0,\; 0=y,\; z=0,\; 0=t\), also \(v=0\).

Wegen \((x,y,z,t)=(x,0,z,0)+(0,y,0,t)\) gilt \(U_1+U_2=\mathbb{R}^4\).

Comments

danke schön :)