Vektoren Gerade und Ebene Lage

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right)=0 \quad\left(\begin{array}{l} n e \\ n_{2} \\ n 3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ S \end{array}\right)=0 \)
\( 3_{n 1}+n_{2}+i_{n_{3}}=0 \quad 3 n_{1}+\operatorname{snz}_{n}+\sin _{3}=0 \)
\( 6 T R \Rightarrow \vec{n}^{-}\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \quad z=2 \)
\( E: \bar{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ll}7 & 5 \\ 1 & 5 \\ -3\end{array}\right) \)
I \( 3+3 r+3 s=3+2.5 t \)
\( \mathbb{I} 4+r+S s=4+1,5 t \)
III \( 2+7 r+S s=2-3 t \)
\( \begin{array}{l} \text { I } 3+3 r+3 s=3+2+1-74-3 \\ 3 r+3 s-7+=0 \end{array} \)
\( \mathbb{I} 4+r+s s=4+1,5+\mid-1, s_{t}-6 \)
\( r+s s-1, S F=0 \)
II. \( 2+7 r+s s=2-3 t \quad 1+3 t-2 \)
\( 7 r+s s+3 t=0 \)
I \( \quad 3 r+3 s-7 t=0 \)
II \( r+S_{s}-1,5 t=01.3 \)
世t \( \quad z_{r}+S s+3 t=0 \)
I. \( \left.\quad \begin{array}{l}3 r+3 s-7+=0 \\ \text { II. } 3 r+15 s-4,5 t=0\end{array}\right] \) -
\( -12 s-2,5 t=0 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir einer sagen, warum das Falsch ist?

Answer 1

E enthält den Aufpunkt von jeder der Geraden und der Normalenvektor

hat mit keinem der Richtungsvektoren das Skalarprodukt 0,

also liegt keine der Geraden in der Ebene, sondern beide schneiden sie.

Comments

wie kommt man zu dem entschluss? kannst du mir das vielleicht vorrechnen. Das ist sehr wichtig für die Klausur

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E enthält den Aufpunkt von jeder der Geraden

Das siehst du daran, dass bei der Ebene und den beiden

Geraden jeweils dieser Punkt als erster in der Parametergleichung steht.

Den Normalenvektor hast du richtig bestimmt und

die beiden Skalarprodukte kannst du nachrechnen.

Nur wenn eines 0 wäre, also der Richtungsvektor einer

Geraden senkrecht zum

Normalenvektor der Ebene wäre, dann läge diese Gerade in der

Ebene.

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Den ersten Satz habe ich verstanden danke! Aber was meinst du im zweiten Satz?

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Ich meinte: Skalarprodukt ist nicht 0, also

sind beide Richtungsvektoren nicht in der Ebene,

also die Geraden auch nicht.

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Wenn du die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene mit Hilfe des Normalenvektors der Ebene bestimmen sollst, prüfst du ob

- u und n Vielfache voneinander sind, dann schneidet die Gerade die Ebene othogonal

- u und n zueinander orthogonal sind, also wenn ihr Skalaprodukt null ergibt, dann liegt g in E oder ist parallel dazu.

n = Normalvektor, u = Richtungsvektor der Geraden