Beweisen oder wiederlegen, dass das Bild einer Matrix surjektiv ist

Question

Aufgabe: Sei K ein Körper. Sei f: M22(K)→K def. durch (a  b   ↦  a+d für alle(a b  eM22(K)

                                                                                     c   d)                           c  d)

Zu zeigen oder zu wiederlegen 1) Die Abbildung f ist surjektiv. 2) Die Abbildung f ist nicht injektiv

Problem/Ansatz: Mein Problem ist nun folgendes. Ich weiß zwar, dass zum Beispiel die Funktion f(x) =x^2 surjektiv ist, weil sowohl -x und x als Urbild das selbe Bild ergeben. Ansonsten fällt mir die Einordnung nach wie vor erstmal schwer. Aber das Hauptproblem ist, wie ich das jetzt in diesem oder in andern Fällen beweisen sollte. Das fällt mir enorm schwer.

Answer 1

Hallo

1. mit a+b a,b aus K kannst du jeden Wert aus K erzeugen z.B mit a=0, b in K , also surjektiv

aber mit a=1, b=0 erreichst du 1 aber auch mit a=0, b=1 erreichst du 1 d,h, die 1 wird durch 2 verschiedene M erzeugt, also nicht injektiv.

(für nicht injektiv brauchst du immer nur einen Bildpunkt der von 2 verschiedenen Urbildern erzeugt wird.

bei x^2 würde reichen dass man 4 mit 2 und -2 erreicht. )