Bestimmen Sie ein Vektor, der zu beiden Geraden senkrecht steht

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei geraden (5/-5/-3) + p (1/-2/2) und (5/-7/-1) + q (4/3/2). Bestimmen Sie ein Vektor n, der zu beiden geraden senkrecht steht

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen.

Answer 1

Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist

Comments

Das bedeutet:

\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = 0\)

\( \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = 0\)

bzw.

1x - 2y + 2z = 0

4x + 3y + 2z = 0

Eine mögliche Lösung davon ist

x = 10, y = -6, z = -11

bzw. der Vektor

\( \begin{pmatrix} 10\\-6\\-11 \end{pmatrix} \)

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Und wie hast du 1x-2y+2z=0 und 4x +3y+2z gelöst, weil da sind ja 3 unbekannte?

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Deswegen schrieb ich ja "Eine mögliche Lösung davon ist ..."

Es gibt beliebig viele Lösungen, weil der gesuchte Vektor beliebig lang sein kann (und auch noch in die eine oder in die entgegengesetzte Richtung orientiert sein darf).

Ich habe es so gelöst, dass ich eine Variable vorgegeben habe (die erste mit x = 10). Dann hat das Gleichungssystem noch zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.

Answer 2

Das Vektor-Kreuzprodukt \((1,-2,2)\times(4,3,2)\) steht senkrecht

auf den beiden Richungsvektoren der Geraden. Es ist

\((1,-2,2)\times(4,3,2)=(-10,6,11)\).

Answer 3

Hallo,

ich weiß nicht, ob du das Vektorprodukt schon kennst. Auf jeden Fall müsste das Skalarprodukt bekannt sein.

Der Vektor \(\vec n\) muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stehen.

\(\vec n\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}=0\)

und

\(\vec n\cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix}=0\)

Das ergibt die Gleichungen

x-2y+2z=0

4x+3y+2z=0

Wenn ich die erste von der zweiten Gleichung subtrahiere, fällt z weg.

3x+5y=0

Nun darf ich eine Variable sinnvoll wählen.

Sei x=5, dann ist y=-3.

Nun noch z bestimmen.

5-2*(-3)+2z=0 → z=-5,5

4*5+3*(-3)+2z=0 → z=-5,5

\(\vec n=\begin{pmatrix} 5\\-3\\-5,5 \end{pmatrix}\)

Dieser Vektor kann noch mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden.