Question

Im folgenden Beispiel sollen zwei Behauptungen richtig sein. Bis jetzt habe ich aber nur das erste richtig, weil wenn man 1 nach rechts geht, dann erhöht sich f(x) um 3.

Ist das letzte auch noch richtig? und wenn ja warum?

3) Kreuzen Sie die beiden Eigenschaften an, die auf die Funktion \( f(x)=3 x+2 \) zutreffen!
\(\begin{array}{|l|c|} \hline f(x+1)=f(x)+3  & \square \\ \hline f(x+1)=f(x)+2 & \square \\ \hline f(x+1)=3 \cdot f(x)  & \square \\ \hline f(x+1)=2 \cdot f(x) &  \square \\ \hline f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=3 \cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\text{ für }x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \text{ und }x_{1} \neq x_{2} & \square \\ \hline \end{array}\)

Answer 1

Es ist \(f(x_2)-f(x_1)=3x_2+2-(3x_1+2)=3x_2-3x_1=3\cdot (x_2-x_1)\) für alle \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\), also insbesondere auch für \(x_1\neq x_2\).

Comments

Also das letzte ist richtig und was dann noch? Das erste oder?

---

Ja, die erste Aussage ist auch richtig.

---

Ich hab noch nicht ganz verstanden warum das letzte richtig sein soll. Können sie das vielleicht so einfach wie möglich erklären :)

---

Du kannst dir die letzte Aussage auch noch einfacher veranschaulichen.

Da bereits \(x_1\neq x_2\) vorausgesetzt wurde, kannst du durch \(x_2-x_1\) dividieren und erhältst die äquivalente Aussage \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=3\).

Der linke Teil der Gleichung sollte dir als Differenzenquotient zwischen den Stellen \(x_1\) und \(x_2\) bekannt sein, bei affin-linearen Funktionen wie \(f\) auch als Anstieg.

Warum der Anstieg von \(f\) genau \(3\) sein soll, lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.

Answer 2

Wenn f(x)=3x+2 sein soll, dann ist f(x+1)=3(x+1)+2=3x+5. Also sind die ersten vier Aussageformen nicht erfüllt.