Berechnen sie ∫∫B 6 dxdy.

Question

Die Menge B ⊂ ℝ² sei begrenzt durch die Kurven x=y und -x²-y=0 für 0 ≤ x ≤ 1.

Berechnen sie ∫∫_B 6 dxdy.

(Das B ist unter dem 2 Integral)

Answer 1

Aloha :)

Wir schauen uns zuerst die Punktmenge \(B\) etwas genauer an. Für die \(x\)-Werte gilt \(0\le x\le1\). Wählen wir ein \(x\) aus diesem Bereich beliebig aber fest, muss \(y\ge-x^2\) und \(y\le x\) gelten. Damit haben wir die Integrationsintervalle gefunden:$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-x^2;x]$$

Bei der Integration müssen wir das analog berücksichtigen, also \(x\) festhlten und dann \(y\) von \(-x^2\) bis \(x\) integrieren. Daher integrieren wir zuerst über \(dy\) und danach über \(dx\).

$$I=\iint\limits_B6\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\left(\;\;\int\limits_{y=-x^2}^x6\,dy\right)dx=\int\limits_0^1\left[6y\right]_{y=-x^2}^{x}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\left(6x+6x^2\right)dx=\left[3x^2+2x^3\right]_{x=0}^1=3+2=5$$

Comments

Kannst du mir bitte bei meiner aktuellen Aufgabe helfen? :)

Answer 2

die Kurven x=y und -x²-y=0

Auflösen nach \(y\) ergibt

        \(y = x\)

und

        \(y=-x^2\)

Berechnen sie ∫∫_B 6 dxdy.

\(\begin{aligned}\iint\limits_{B}6\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &= \int\limits_{x=0}^{x=1}\int\limits_{y=-x^2}^{y=x}6\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\&=\int\limits_{x=0}^{x=1}\left[6y\right]_{y=-x^2}^{y=x}\mathrm{d}x \\&= \int\limits_{x=0}^{x=1}\left(6x - 6(-x^2)\right)\mathrm{d}x\end{aligned}\)

Answer 3

Sorry, überflüssig da du ja fertige Resultate präsentiert bekommst. Hast du wenigstens daraus was gelernt?

Hast du den mal dieses einfache Gebiet B aufgezeichnet, y=-x^2 und y=x zwischen 0 und 1?

dann musst du nur von y=-x^2 bis x und x von 0 bis 1 integrieren, 6 kannst ddi aus dem Integral ziehen und die Fläche auch zur Kontrolle wie auf der Schule ausrechnen.

Gruss lul

Comments

Ja, ich habe ja nicht nur, diese Aufgabe, habe die auch mit anderen Werten.

Brauche lediglich nur ein Rechenweg, um zu wissen, wie ich diese Aufgabe zu berechnen habe, weiß aber nicht warum es ein Problem sein sollte und falls ich etwas nicht verstanden haben sollte, kann ich ja auch nachfragen :D