Drehung um Winkel(transformierte Form der Funktionsgleichung)

Question

Aufgabe:

1) Um welchen Winkel ϕ ist das (x,y) - System zu drehen, damit
in der transformierten Form der Funktionsgleichung y² -xy
+1 = 0 das gemischte Produkt x´y´nicht auftritt?

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte bei der Aufgabe helfen,

Muss man den Winkel nicht um 90 Grad drehen, damit das wegfällt´

y² -xy+1 = 0

x= r*cos(ν-φ)   y = x= r*sin(ν-φ)

r²*sin(90°)*sin(90°) - r*cos(90°)*r*sin(90°) + 1 = 0

r² + 1= 0  = >   r² = -1  => r= +-\( \sqrt{-1} \)

Answer 1

Aloha :)

Eine Drehung um den Winkel \(\varphi\) entgegen der Uhr entspricht folgender Koordinatentranformation:$$\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$Die Rücktransformation erhalten wir durch Rotation um den Winkel \((-\varphi)\):$$\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi\\-\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\binom{x'}{y'}=\binom{x'\cos\varphi+y'\sin\varphi}{-x'\sin\varphi+y'\cos\varphi}$$

Wir setzen in die Funnktionsgleichung ein:

$$0=x^2-xy+1$$$$0=(x'\cos\varphi+y'\sin\varphi)^2-(x'\cos\varphi+y'\sin\varphi)(-x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+1$$$$0=x'^2\cos^2\varphi+2x'y'\sin\varphi\cos\varphi+y'^2\sin^2\varphi+1$$$$\phantom{0}-(-x'^2\sin\varphi\cos\varphi-x'y'\sin^2\varphi+x'y'\cos^2\varphi+y'^2\sin\varphi\cos\varphi)$$$$0=x'^2(\cos^2\varphi+\sin\varphi\cos\varphi)+y'^2(\sin^2\varphi-\sin\varphi\cos\varphi)+1$$$$\phantom{0}+x'y'(2\sin\varphi\cos\varphi+\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)$$$$0=x'^2\left(\cos^2\varphi+\frac12\sin2\varphi\right)+y'^2\left(\sin^2\varphi-\frac12\sin2\varphi\right)+1+x'y'\left(\sin2\varphi-\cos2\varphi\right)$$

Da die Mischterme \(x'y'\) verschwinden sollen, muss gelten:$$0\stackrel!=\sin2\varphi-\cos2\varphi\implies\sin2\varphi=\cos2\varphi\implies\tan2\varphi=1\implies\varphi=22,5^\circ+\mathbb Z\cdot90^\circ$$

Answer 2

Hauptachsentransformation?

Das kommt darauf an wohin man dreht (wie man die Eigenvektoren einsetzt)