Für welche x ∈ ℝ konvergiert x^k/k!

Question

Hallo liebes Forum, ich habe eine kurze Frage und zwar:

Für welche x ∈ ℝ konvergiert \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{x^k}{k!}} \)

Ich wende das Quotientenkriterium an und lasse mal kurz die Rechnung weg, am ende erhalte ich \( \frac{1}{k+1} \) * x, so da k→∝ , erhalten wir 0 * x.

Nach Voraussetzung des QK ist ja die Zahlenfolge < 1 => konvergent. Irgendein x mit 0 multipliziert ergibt immer null und ist immer < 1, also ist der Wert x beliebig, denn die Reihe ist für jedes x konvergent?

Answer 1

Aloha :)

Die angegebene Summe konvergiert für alle \(x\), weil es sich um eine endliche Summe handelt.

Wenn allerdings die obere Grenze nicht \(n\), sondern \(\infty\) sein soll, handelt es sich um die Potenzreihe für die Exponentialfunktion:$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$die bekanntlich auch für alle \(x\in\mathbb R\) konvergiert.

Formal kannst du den Konvergenzradius \(r\) bestimmen:

$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{k!}}{\frac{1}{(k+1)!}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(k+1)!}{k!}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|k+1\right|=\infty$$

Comments

Hey vielen lieben Dank für deine Antwort!

Ich habe jetzt erst gesehen, das es sich um eine endliche Summe handelt, und es nicht ganz verstanden. Kannst du es mir vll veranschaulichen?

Beispielsweise, falls k=1 und x=2, dann hätte ich ja 2/2 und dann hätte ich 1 als ergebnis, was ja gegen des konvergenverhalten wäre.

---

Konvergenz bedeutet ja, dass am Ende eine fassbare Zahl herauskommt, also nicht unendlich. Da du bei einer endlichen Potenzreihe nur endlich viele Summanden zum Addieren hast, muss das Ergebnis eine konkrete Zahl sein. Also konvergiert die Potenzreihe für alle \(x\).