überprüfen sie die Funktion auf Extremwerte. Geben Sie ggf. an, um welche Art von Extremwert es sich handelt.

Question

Aufgabe gegeben ist die Funktion

f(x;y)=2(x-4)² +3(y+3)²-4.

1. überprüfen sie die Funktion auf Extremwerte. Geben Sie ggf. an, um welche Art von Extremwert es sich handelt.

2. Linearisieren Sie die Funktion im punkt P=(2;-1),d.h. geben Sie die Gleichung der Tangentialebene im punkt Pan

Problem/Ansatz:

Comments

Und was für Ideen hast Du zum Vorgehen bereits selber?

Answer 1

Die partiellen Ableitungen sind f_x=4(x-4) bzw f_y=6(y+3).

Einziger kritischer Punkt also E(4;-3).

Hessematrix ist

 4           0
0            6

also det=24>0 und a₁₁ > 0 ==>   lok. Min. bei E.

2.) Tangentialebene hat die Gleichung

z-zo=f_x(xo,yo) (x-xo) + f_y(x0,yo) (y-yo)

hier also

z-16 = -8 * ( x-2) + 12 * ( y +1 )

Comments

ich hab auch das gleiche Lösung aber es mir noch Aufgabe 2

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Habe ich ergänzt.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y)=2(x-4)^2+3(y+3)^2-4$$

zu a) Hier ist nichts zu rechnen. Da Quadratzahlen immer \(\ge0\) sind, liegt bei \((4|-3)\) ein globales Minimum vor. Konkret gilt:$$f(4;-3)=-4\quad\text{ist globales Minimum}$$

zu b) Eine Tangentialebene hat allgemein die Form:$$t_{(x_0;y_0)}(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Wir setzen \((x_0;y_0)=(2;-1)\) und \(f(x;y)\) ein:$$t_{(2;-1)}(x;y)=f(2;-1)+\binom{4(x-4)}{6(y+3)}_{(2;-1)}\cdot\binom{x-2}{y+1}=16+\binom{-8}{12}\binom{x-2}{y+1}$$$$t_{(2;-1)}(x;y)=16-8(x-2)+12(y+1)$$$$t_{(2;-1)}(x;y)=44-8x+12y$$