Gegenseitige Lage zweier Ebenen

Question

Aufgabe:

6.a) Ermittle die gegenseitige Lage der zwei

Ebene E durch A(0/0/0), B(1/2/2) und C(-1/0/6). Ebene F:x+y+z=5

7c) Für welchen Wert von a sind die beiden Ebenen orthogonal?
E:2x-y+z=6  F:ax+4y-2z=4

Answer 1

E: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=r·\( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \)+s·\( \begin{pmatrix} -1\\0\\6 \end{pmatrix} \).

F: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)=5

E in F einsetzen, ergibt:

(1+2+2)·r+ (-1+6+6)·s = 5 oder r=1 - s. Dies in E einsetzen, ergibt die Gleichung der Schnittgeraden:

g: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=r·\( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \)+s·\( \begin{pmatrix} 0\\2\\-4 \end{pmatrix} \).

Comments

es ist nicht nötig, die Ebenengleichung aufzustellen. Es reicht aus, die Koordinaten der drei Punkte in die (linke Seite) der Ebenengleichung von \(F\) einzusetzen.

Sind die Ergebnisse bei allen drei Punkten gleich, so liegen \(E\) und \(F\) parallel.

Kommt auch noch der gleiche Wert wie bei \(F\) heraus (hier \(5\)), so wären die Ebenen identisch.

In jedem anderen Fall gibt es eine Schnittgerade.

Und da die Koordinaten der Punkte \(B\) und \(C\) den Wert \(5\) ergeben (wie in \(F\)) ist die Schnittgerade die Gerade durch \(B\) und \(C\)

Answer 2

6a)

Dass E und F nicht identisch sind sieht man, wenn man A in F einsetzt, 0 = 5 ist falsch. Dann steht noch "sind parallel" oder "schneiden sich in einer Geraden" zur Debatte. Setze die beiden Ebenen gleich, wenn es keine Lösung gibt dann sind sie parallel, wenn nicht parallel ist die Lösung die Schnittgerade.

7b)

Die Normalenvektoren \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} a\\4\\-2 \end{pmatrix} \) müssen senkrecht zueinander stehen. Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.