7. Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Abstand beziehungsweise die Schnittgerade.
$$ \begin{array}{l} E_{1}:\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\mu_{1}\left(\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \\ E_{2}:\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)+\mu_{2}\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) \end{array} $$
Problem/Ansatz:
Also ein sehr ähnliches Thema gibt es hier schon, allerdings verstehe ich da nicht die Lösung. Ich habe es mal so aufgeschrieben wie ich es lösen würde und wollte mal nachfragen ob das richtig ist oder ob ich irgendwo falsch abgebogen bin.
1) \( n_{E 1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right) \)
\( n_{E 2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -4 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 4 \\ 8\end{array}\right) \)
2) \( n_{E_{1}} \times n_{E_{2}}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 4 \\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \)
Die Ebenen liegen nicht parallel da n×n nicht [0 0 0] sind.
Danach rechne ich den Anstand d aus mit folgender Formel
\( d=\frac{\vec{n}_{E 1} \cdot\left(r_{2}-r_{1}\right)}{\left|\vec{n}_{E 1}\right|^{2}}= \)
Den Schritt r2-r1 habe ich mal weggelassen.
\( \frac{\left(\begin{array}{c}-2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-5 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)}{\sqrt{77}}=\frac{\left(\begin{array}{l}10 \\ 4 \\ 18\end{array}\right)}{\sqrt{17}}=\frac{32}{\sqrt{17}}=7.76 \)
