Scheitelpunkt einer nach unten offenen Normalparabel

Question

Wo liegt der Scheitelpunkt einer nach unten offenen Normalparabel (Formfaktor a=-1) die die Nullstellen x1=5 und x2=-3 hat????

Answer 1

f(x) = - 1·(x - 5)·(x + 3)

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt immer in der Mitte der beiden Nullstellen

Sx = 1/2·(n1 + n2) = 1/2·(5 + (-3)) = 1

Die Y-Koordinate erhalten wir über einsetzen in die Funktionsgleichung

Sy = f(Sx) = f(1) = - 1·(1 - 5)·(1 + 3) = 16

Der Scheitelpunkt ist somit S(1 | 16)

Answer 2

Die Funktionsgleichung lautet in Nullstellenform (ich nenne die Nullstellen im Folgenden n₁:= x₁ bzw. n₂ := x₂ , um erwechslungen mit der Funktionsvariablen x zu vermeiden):

f ( x ) = - ( x - n₁ ) ( x - n₂ )

= - ( x ² - ( n₁+ n₂ ) x + n₁ * n₂ )

Umformung des Funktionsterms in die Scheitelpunktform:

Zunächst quadratiscche Ergänzung addieren und wieder subtrahieren:

= - ( x ² - ( n₁+ n₂ ) x + ( ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² - ( ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² + n₁ * n₂ )

Nun die ersten drei Summanden mit Hilfe der 2. binomischen Formel als Quadrat schreiben:

= - ( ( x - ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² -  ( ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² + n₁ * n₂ )

und den Faktor - 1 in die äußere Klammer hineinmultiplizieren:

= - ( x - ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² +  ( ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² - n₁ * n₂

Die beiden letzten Summanden kann man noch zusammenfassen (nachrechnen!):

= - ( x - ( n₁+ n₂ ) / 2 ) ² +  ( ( n₁- n₂ ) / 2 ) ²

Das ist der Funktionsterm in Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt S kann abgelesen werden:

S = [ ( n₁+ n₂ ) / 2 ) | ( ( n₁- n₂ ) / 2 ) ² ]

Auf diese Weise hat man allgemeingültige Formeln zur Berechnung der Koordinaten x_s und y_s des Scheitelpunktes aus den Nullstellen n₁ und n₂ gefunden:

x_s = ( n₁+ n₂ ) / 2

y_s = ( ( n₁- n₂ ) / 2 ) ²

Man erkennt außerdem:

1) Die x-Koordinate des Scheitelpunktes, ( n₁+ n₂ ) / 2 , liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen n₁ und n₂.

2) Die y-Koordinate ist das Quadrat des halben Abstandes der beiden Nullstellen.

 

Für die Beispielaufgabe mit den Nullstellen n₁ = 5 und n₂ = - 3 erhält man daher:

S ( Mitte zwischen n₁ und n₂ | Quadrat des halben Abstand von n₁ und n₂ ) = ( 1 | 16 )