Differenzialgleichung

Question

In ein mit einer Flussigkeit gef  ulltes Gef  a wird ein Gegenstand eingebracht, wobei durch Ruhren
dafur gesorgt wird, dass die Fl  ussigkeit eine gleichm  aige (von der Zeit abhangige) Temperatur S(t) hat.

Die Temperatur der Oberfäache des Gegenstandes sei T(t). Der zeitliche Verlauf der

beiden Temperaturen kann durch die Dierentialgleichungen

Ṫ(t) = alpha (S(t) - T(t) und Ṡ (t) = beta (T(t) - S(t)
modelliert werden. Die Parameter alpha > 0 und beta > 0 hangen von der Warmeleitfahigkeit und

-kapazitat der Flussigkeit und des Gegenstandes ab und sind i.a. verschieden.

Nach welcher Zeit hat sich ein anfanglich bestehender Temperatur-Unterschied D(0) = T(0) - S(0) ungleich 0 zwischen Körper und Flüssigkeit auf die Hälfte reduziert? Wie wirkt sich eine Vergrößerung von alpha bzw. beta auf diese Zeit aus.
Hinweis: Leiten Sie zunachst eine Dierentialgleichung fur die Dierenz D(t) = T(t) - S(t) der
beiden Temperaturen her.

Answer 1

Ich bezeichne die Ableitung mit einem Strich (da ich keine Ahnung habe wie so ein Punkt geht)

T'(t)= α (S(t) - T(t)) und S' (t) =  β (T(t) - S(t) ) Ich nehme nun die zweite Gleichung minus der ersten

⇒ S' (t)-T'(t)=(β-α) (T(t) - S(t) ) mit D(t)=T(t) - S(t) ist dann D'(t)=T'(t) - S'(t)

⇒D'(t)=-((β-α) D(t) ⇒ D(t)=D(0)e^{-(β-α) t}

Sei T_1/2 die Zeit, bei der die Differenz auf die Haelfte reduziert ist, d.h. D(T_1/2)= 1/2 D(0) = D(0) e^{-(β-α) T_1/2}

⇒e^{-(β-α) T_1/2} =1/2 ⇔ T_1/2 =-  1/(β-α) ln(1/2)= +1/(β-α) ln(2)  fuer β>α (sonst ist T_1/2 negativ und die Differenz kann nie die Haelfte erreichen.)  

Gilt β=α so ist T_1/2 unendlich d.h. D kann (wieder) nie D(0)/2 erreichen.

Fazit: T_1/2 ist eine positive reelle Zahl genau dann, wenn β>α ist.

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