Dreiecke mit Eigenschaften beweisen

Question

Aufgabe:
Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten:
a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B′ der Seite AC verläuft und parallel zur
Geraden AB ist, dann schneidet die Gerade g die Seite BC in deren Mittelpunkt A′.
b) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B′ der Seite AC und den Mittelpunkt A′ der
Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.
c) Die Verbindungsstrecke A′B′ des Mittelpunkts A′ der Seite BC und des Mittelpunkts
B′ der Seite AC ist halb so lang wie die Dreieckseite AB.
Hinweise:
1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelo-
grammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von
Strahlensätzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische
Beweise der Strahlensätze sind.
2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch
Mittellinie dieses Dreiecks. Die in b) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst
der Satz über die Mittellinien im Dreieck:
In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und
halb so lang wie diese.

Problem/Ansatz: Ich habe diese Aufgabe probiert zu lösen, aber ich kann die Aufgabe nicht mit den vorgegebenen Hinweisen lösen. Gibt es zur dieser Aufgabe eine einfache Lösung, die ich übersehen oder vergessen habe.

Vielen Dank!

hfg655

Comments

Die Aufgabe wurde schon mehrfach gepostet.

Answer 1

a) Jetzt ohne Strahlensätze:

Wegen der Parallelität von AB und B'A' sind die mit α bezeichneten Winkel Stufenwinkel und haben folglich die gleiche Größe. Daher stimmen die Dreiecke ABC und B'A'C in zwei Winkelgrößen überein und sind daher ähnlich zueinander.

Dann gilt \( \frac{|AC|}{|B'C|} \)=\( \frac{|BC|}{|A'C|} \)=\( \frac{2}{1} \). Also ist BC doppelt so lang wie A'C und A' liegt in der Mitte von BC.

Comments

Daher stimmen die Dreiecke ABC und B'A'C in zwei Winkelgrößen überein und sind daher ähnlich zueinander.

Was mich an der Aufgabenstellung irritiert ist, dass dort Kongruenzsätze und nicht Ähnlichkeitssätze steht. Ich hab den Beweis (noch) nicht sauber hin bekommen.

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Die Ankündigung   Jetzt ohne Strahlensätze

steht im Gegensatz zur Verwendung des Strahlensatzes in    \( \frac{|AC|}{|B'C|} \)=\( \frac{|BC|}{|A'C|} \) .

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Beweis (noch) nicht sauber hin bekommen.

gelingt mit einer Parallelen zu BC durch B' (Schnittpunkt C' mit AB), Kongruenz der Dreiecke AC'B' und B'A'C, Parallelogrammeigenschaft von AC'A'B' und Kongruenz der Dreiecke AC'B' und C'BA' .

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... gelingt mit einer Parallelen zu BC durch B' (Schnittpunkt C' mit AB),

das war auch mein erster Gedanke, aber scheitert das nicht daran, dass man dann zeigen muss, dass C' AB halbiert, bzw. wieso sollten sich die Parallelen durch B' zu BC und die durch A' parallel zu AC in einem gemeinsamen Punkt treffen, der auch auf auf AB liegt?

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.. Ach ja natürlich. Es folgt aus der Kongruenz des dritten Dreiecks. ;-)