Funktionalgleichung bei Exponentialfunktion Beweis

Question

Wir haben in der Vorlesung vor kurzem den Beweis für Funktionalgleichungen bei der Exponentialfunktion für Matrizen besprochen, aber ich verstehe den letzten Absatz nicht: Warum lässt sich aus f(0)=0 schließen, dass f(x) = 0 für alle x in den reellen Zahlen?

Gilt AB=BA. Betrachtet wird die Funktion f(x) := e^((A+B)x) - e^(Ax)*e^(Bx). Nun gilt:

f‘(x) = (A+B)e^((A+B)x) - A*e^(Ax)*e^(Bx) - e^(Ax)*B*e^(Bx) = (A+B)(e^((A+B)x)-e^(Ax)*e^(Bx)) = (A+B)f(x)

Daher ist f(x) die eindeutige bestimmte Lösung der DGL phi‘(x) = (A+B)phi(x) mit f(0) = 0 - daher gilt f(t) = 0 für alle t in den Reellen Zahlen, d. h.

e^(A+B)x = e^Ax * e^Bx

Answer 1

Weil ja auch f'(0)=0 kommt mit der Anfangsbedingung  f(0) nur die Lösung f(t)=0  raus.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, aber ich habe leider immer noch Probleme das zu verstehen. f(0) impliziert doch nur dass die Koeffizienten vor e^(A+B)x und e^A*e^B gleich sind (also c_1 = c_2)? Und daher f‘(0)=(A+B)(c_1-c_2)= 0 gilt. Wie aber zeige ich dann, dass das für alle x gilt?