Aufgabe:
Sei f:ℝ→ℝ eine Funktion, die in 0 stetig ist mit f(0)≠0 und der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)·f(y) für alle x,y∈ℝ genügt.
Zeigen sie, dass dann schon f(x)=expλx für ein λ∈ℝ gelten muss.
Problem/Ansatz:
Zunächst einmal: Bei der Schreibweise f(x)=expλx war ich mir zunächst unsicher, aber ich denke, es heißt f(x)=λx.
Ich habe bereits:
Es gilt f(0) = f(0+0) = f(0)·f(0) = (f(0))2.
Da für f(0) nur 0 und 1 in Frage kommen, aber nach Voraussetzung f(0)≠0 ist, folgt, dass f(0)=1 ist.
Für alle x∈ℝ gilt
0 = f(x) = f(x+0) = f(x)·f(0) = f(x)·1. Damit die Gleichheit 0 = f(x)·1 gelten kann, muss f(x)=0 für alle x∈ℝ gelten, aber das wäre die konstante Funktion f: ℝ→ℝ, x↦0 und die ist nach Voraussetzung ausgeschlossen. Also hat f keine Nullstellen.
Nun weiß ich nicht genau, wie ich weitermachen soll. Irgendwie muss ich ja einbauen, dass f in 0 stetig ist, da habe ich ...
Wenn f in 0 stetig ist, gilt
lim x↦0 f(x) = f(0) = 1.
Aber irgendwie bringt mich das nicht voran, denn ich weiß nicht, wie ich die Funktionalgleichung in diese Stetigkeitsbedingung einbauen soll und wie ich generell am Ende auf f(x)=λx kommen soll.
Danke für jede Hilfe!
