Parallelogramm-Aufgabe und Geraden.

Question

Aufgabe:

Das Viereck ABCD sei ein Parallelogramm, bei dem der Abstand der parallelen Geraden AB und CD gleich 6 ist. E und F seien die Mittelpunkte der Seiten BC und CD. Die Gerade DE schneide die Strecke BF im Punkt P und die Gerade AB im Punkt Q.

a) Zeigen Sie, dass |AQ| = 2 |AB| gilt.

b) Zeigen Sie, dass P auf der Geraden AC liegt und bestimmen Sie die Länge des Abstands von P zur Geraden AB.

Answer 1

Hallo Realein,

zu a)

die Dreiecke \(\triangle AQD\) und \(\triangle BQE\) sind ähnlich. Und da lt. Voraussetzung$$|BE| = \frac12|BC| =\frac12|AD|$$ist, muss auch $$|BQ| = \frac12|AQ| \implies |AQ|= 2|AB|$$ sein.

zu b)

Im Dreieck \(\triangle BCD\) sind die Geraden durch \(DE\) und \(BF\) die Seitenhalbiereden (bzw. Schwerlinien) dieses Dreiecks. Da sich im Parallelogramm die Diagonalen gegenseitig halbieren, fällt die Seitenhalbierende durch \(MC\) mit der Diagonalen \(AC\) zusammen. Da sich die Seitenhalbierenden immer in einem Punkt schneiden, muss auch \(P\) auf \(AC\) liegen.

Die Seitenhalbierenden schneiden sich jeweils im Verhältnis \(2\div1\). Ist \(h=6\) die Höhe über \(AB\) so gilt für den Abstand \(PP'\) des Punktes \(P\) von der Geraden durch \(AB\):$$\frac{|PP'|}{h} =\frac{|BP|}{|BF|}= \frac 2{2+1} \implies |PP'|=\frac23h= 4$$Gruß Werner

Answer 2

a) Die Dreiecke BQE und CDE sind kongruent: (wws)

gleiche Innenwinkel bei D und Q (geschnittene Parallelen)

gleiche Innenwinkel bei C und B (geschnittene Parallelen)

|BE|=|EC| da E Mittelpu.

==>   |CD| = |BQ|

==> ( wegen gegenüberliegende Seiten im Parallelo)

     |AB| = |BQ| und   |AQ| =  |AB| + |BQ|

==>     |AQ| = 2 |AB|

b) Strecke DE und und BF sind Seitenhalbierende im

Dreieck BCD, also geht durch ihren Schnittpunkt P

auch die dritte Seitenhalbierende CM. Also ist ihr

von C verschiedener Endpunkt M

der Mittelpunkt der Diagonale BD und damit ist

M auch auf der Diagonalen AC, somit auch P auf AC.

Die Dreiecke ABP und CFP sind ähnlich.

(entsprechende Winkel stimmen überein

(geschnittene Parallelen bzw. Scheitelwi.)

Außerdem ist |AB| = 2*|FC| (Mittelpu.

und gegenüberliegende Seiten gleich lang)

Also sind alle Seiten in ABP doppelt so

lang wie die entsprechenden in CFP und

damit stehen auch die Höhen in P in diesem

Verhältnis. Der Abstand von P zu CD ist

also doppelt so groß wie der von P zu AB.

Weil beide zusammen 6 betragen ist

d( P ; AB ) = 4.

Answer 3

a)

Strahlensatz: x/\( \frac{a}{2} \)=(x+b)a. Nach b auflösen. Dann sieht man x=b und |AQ| = 2 |AB|.

Comments

Frage:

Was ist der pädagogische Sinn solcher trockenen Aufgaben, die sich in Schülerkreisen
keiner großen Beliebtheit erfreuen und kaum irgendeinen praktischen Nutzen
für geschätzt weit über 90% der Schüler haben, die man damit traktiert.

Bitte keine Antwort von hj2166!!!

---

Was ist der pädagogische Sinn solcher trockenen Aufgaben ..

denselbe Sinn, den jede Kurvendiskussion und jede Steckbriefaufgabe hat.

die sich in Schülerkreisen keiner großen Beliebtheit erfreuen

kommt auf den Schüler oder die Schülerin an. Ich habe das immer gern gemacht ;-)

kaum irgendeinen praktischen Nutzen für geschätzt weit über 90% der Schüler haben, die man damit traktiert.

ungefähr soviel praktischen Nutzen wie die Monotonie irgendwelcher Folgen zu zeigen

---

Die schönste Mathematik entsteht da, wo die praktische Anwendbarkeit nicht gefragt ist.