Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel ρ bildet sie mit der x1/x2- Ebene?

Question

Aufgabe:

Die in der x1/x2-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegenden Fußpunkte von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe h = 5 m haben die Koordinaten P1(3|5|0), P2(–5|3|0), P3(–3|–5|0) und P4(5|–3|0).

An den Pfostenspitzen wird eine elastische Plane befestigt. Damit Regenwasser besser ablaufen kann und sich nicht in der Mitte der Plane sammelt, wird eine gerade, starre Stange so von oben auf die Plane gelegt, dass eine V-förmige Dach- form entsteht. Die Stangenenden werden durch zwei am Boden befestigte Seile nach unten gezogen und befinden sich dadurch in den Punkten Z1(–1|4|4) und Z2(1|– 4|3).

1.) Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel ρ bildet sie mit der x1/x2- Ebene?

2.) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten (sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?

3.) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten P1 und P2 erhöhen. Um welchen Betrag?

4.) Welchen Winkel δ bilden die beiden Dachteile nun miteinander?

Problem/Ansatz:

Ich habe leider echt keine Ahnung wie ich hier vorgehen und rechnen muss, wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte

Comments

Willst Du das wissen was Du in den Titel geschrieben hast, oder das was in der Aufgabe steht?

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Das was in der Aufgabe steht

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Und was soll "die Forderung laut c)" sein?

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Das was in Aufgabe 2 Steht

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wir hatten diese Aufgabe schon, aber ich möchte sie nicht als doppelt markieren ...

(siehe die Kommentare hinter der Frage)

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Werner, wie hast du den Link eingefügt, also in "diese Aufgabe".

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Werner, wie hast du den Link eingefügt, also in "diese Aufgabe".

Du kopierst den Link in die Zwischenablage. Wichtig: er muss mit 'https://.. ' beginnen. Dann markierst Du den Text, unter dem Du den Link stehen lassen willst, und drückst auf 'Link Einfügen', kopierst den Link hinein. und drückst 'Einfügen'.

Hier ist der Link zur Szene in Geoknecht3D..

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Prima, danke dir!

Answer 1

Hallo,

zu 1)

Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel ρ bildet sie mit der x1/x2- Ebene?

Für die Länge der Stange verwendest du die Formel

\( \mathrm{d}(\mathrm{A} ; \mathrm{B})=\sqrt{\left(\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{b}_{2}-\mathrm{a}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{b}_{3}-\mathrm{a}_{3}\right)^{2}} \)

und für den Winkel mit der Ebene

\(sin(\alpha)=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\),

wobei a der Richtungsvektor der Geraden durch die beiden Punkte und b der Normalenvektor der Ebene ist.

2.) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten (sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?

Wenn du das Gebilde betrachtest, stellst du fest, dass die Punkte Z1, Z2, P1' und P4' nicht auf einer Ebene liegen.

Das Gleiche gilt für die Punkte Z1, Z2, P2' und P3':

Das kann man natürlich auch rechnerisch nachweisen, aber ich belasse es jetzt bei den Skizzen.

3.) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten P1 und P2 erhöhen. Um welchen Betrag?

Stelle die Ebenengleichung durch die Punkte Z1, Z2 und P4' auf und setze sie gleich mit der Geraden durch P1 und P1'. Die z-Koordinate des Schnittpunktes verrät dir, um wieviel Einheiten der Pfosten verlängert werden muss (im Vergleich zu der z-Koordinate von P1).

4.) Welchen Winkel δ bilden die beiden Dachteile nun miteinander?

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist der spitze Winkel zwischen ihren Normalenvektoren n2 und n2:

\( \cos \angle\left(\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}\right)=\frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\vec{n}_{2}\right|} \)

Gruß, Silvia