a) \(f\) ist über \(\mathbb{Q}\) irreduzibel (Lemma von Gauss und
Eisenstein-Kriterium).
Über \(\mathbb{R}\) hingegen reduzibel, da jedes Polynom ungeraden Grades
eine reelle Nullstelle hat (Zwischenwertsatz).
b) \(g\) ist über \(\mathbb{Q}\) irreduzibel; denn nach dem Lemma von Gauss
müsste es sonst über \(\mathbb{Z} \) reduzibel sein, dann müsste es aber
auch modulo 2 zerlegbar sein, was aber nicht der Fall ist
(Man sieht sofort, dass es keine Nullstelle mod 2 besitzt, und
der Ansatz \(g=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\) liefert einen Widerspruch).
Wäre \(g\) über den reellen Zahlen irreduzibel, dann besäße \(\mathbb{R}\)
den Körper \(\mathbb{R}[x]/(g)\) als Erweiterungskörper vom Grad 4.
Bekanntermaßen hat aber \(\mathbb{R}\) nur den Körper
\(\mathbb{C}\) vom Grad 2 als einzige algebraische Erweiterung.
Stattdessen kann man auch folgende Aussage heranziehen.
Jedes reelle Polynom mit Grad > 0 ist Produkt von quadratischen und
linearen reellen Polynom-Faktoren.
c) und d) sind hier bereits besprochen worden.
