Legendre-Polynom und Gauss-Quadraturformel bestimmen

Question

Hallo, ich brauch Hilfe für die folgende Aufgabe:

Das i-te Legendre-Polynom \( p_{i} \) ist definiert durch: \( p_{0} = 1 \) und
i) deg \( p_{i} = i\) und \(p_{j}(1) = 1 \)
ii) \(p_{i} \perp p_{j}\) für \( j < i \) und Skalarprodukt \(<p , q> \) = \( \int\limits_{-1}^{1} p \cdot q \) dx .

1) Leiten Sie daraus \(p_{1}  und p_{2} \) her.

2) Leiten SIe aus 1) die Gauss-Quadraturformel für s = 2 her. Welche Ordnung hat diese?.

In der Vorlesung hatten wir folgende Rekursionsformel: \( p_{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} \cdot x \cdot p_{n}(x) - \frac{n}{n+1} \cdot p_{n-1} \). Wie kann man 1) und 2) lösen?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

einfach p1 =ax+b und dann <p1,p0>=0 und p1(1)=1

danach <p1,p2>=0

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort!
Können Sie bitte mir zeigen, wie man Schrittweise auf die Antwort kommen kann?
Auf Ihre Antwort würde ich mich sehr freuen, da ich nächste Woche meine Prüfung habe.

Gruß

---

Hallo

du kannst doch wohl $$\int_{-1}^1(ax+b)*1dx$ bestimmen  und 0 setzen? dann noch p1(1)=1 und du hast a und b. (Ergebnis p1=x aber rechne nach!)

dann das nächste einfache Integral mit p0 und p2 und p1 und p2 mit p2=ax^2+by+c

gerade vor Prüfungen muss man doch selbst rechnen?

Gruß lul