Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen

Question

Ich habe folgendes Problem:

Ich Soll folgende Ungleichungen mit dem Mittelwertsatz beweisen:

|cos(e^x) - cos(e^y)| <=|x-y|  für x,y <=0

ln(1+x)<= x/√(1+x) für x>0

Ich weiß nicht wie ich den mittelwertsatz bei Ungleichungen anwenden soll. Ich brauche etwas Hilfe.

Answer 1

1)

Sei f(t) = cos(e^t) auf dem Intervall [x,y]. Dann gilt nach Mittelwertsatz:

cos(e^x)−cos(e^y) /(x−y) = f ' (ξ)  mit ξ∈(x;y)

Daraus folgt:

|cos(e^x)−cos(e^y)| = |f ' (ξ)| |x−y|

Mit |f ' (ξ)| immer kleiner als das Maximum aller möglichen |f ' (ξ)| mit ξ∈[x,y]) gilt:

|cos(e^x)−cos(e^y)| ≤ |x−y| max(ξ∈[x,y]) |f ' (ξ)|

Bleibt noch zu zeigen, dass |x−y| max(ξ∈[x,y]) |f ' (ξ)| ≤ |x−y|.

Dies gilt, wenn max(ξ∈[x,y]) |f ' (ξ)| ≤ 1.

Dies wiederum gilt, wenn |f ' (t)| ≤1 ist für alle t∈[x,y]

|f ' (t)|= |−e^t * sin(e^t)|=|e^t|·|sin e^t|.

Der Sinus ist immer ≤ 1 und e^t ist für alle t∈[x;y] mit x;y ≤ 0 auch immer kleiner gleich 1. Also ist das Produkt auch immer kleiner gleich eins.

Damit gilt:

max(ξ∈[x,y]) |f ' (ξ)| ≤ 1

⇒ |x−y| max(ξ∈[x,y]) |f ' (ξ)| ≤ |x−y|

⇒ |cos(e^x)−cos(e^y)| ≤ |x−y|                                                  q.e.d.

 

2)

Sei f(t) = ln(1+t) − t/√(1+t) mit (t>0)

Dann ist f(x) = ln(1+x) − x/√(1+x) und f(0) = 0

Damit gilt nach MWS:

(ln(1+x) − x/√(1+x) - 0) / (x-0) = f ' (ξ)  mit ξ∈(0;x)

also: f(x) =x * f ' (ξ)

f ' (t) = 1/(1 +t) − 1/√(1+t) + t*1/(2(1+t)^3/2)= [√(1+t)−(1+t)+t/2] / [(1 +t)√(1+t)] =[√(1+t)−(1+t/2)] / [(1 +t)√(1+t)]

Der Nenner ist wegen t>0 immer größer als 0. Der Zähler ist wegen

1+t/2 ≥ √(1+t) (Bernoullische Ungleichung) immer kleiner oder gleich 0.

Deswegen gilt:

f ' (t) ≤ 0   für alle t>0

Deswegen gilt:

f ' (ξ) ≤ 0

und somit mit x>0

x * f ' (ξ) ≤ 0

Daraus folgt:

f(x) ≤ 0

Also:

ln(1+x) − x/√(1+x) ≤ 0

Und damit:

ln(1+x) ≤ x/√(1+x)                                                                   q.e.d