Aufgabe:
Sei f(x,y) = 3x-x³+2y-y² und sei G das durch die Geraden y = 0, y = 4-2x und x = 0.
Wird an der Stelle (0,2) ein Randextremum von f auf G angenommen?
Ansatz:
Grundsätzlich habe ich mal zunächst die Extrema der Funktion gesucht und geschaut, ob diese im Inneren des Gebietes liegen oder am Rand.
fx=3-3x²=0 x = +-1
fy=2-2y y = 1
Bedeutet wir haben 2 Extrema (-1,1) und (1,1) dabei liegt nur das zweite im Inneren von G. Der erste liegt außerhalb und kommt daher nicht in Frage. Zudem ist das 2te ein Maxima (mit dem Hauptminorenkriterium geprüft)
Nun die Randextrema. Das ist ja praktisch wieder ein Suchen nach Extrema mit einer Randbedingung, nähmlich, dass es auf der Gerade 4-2x liegt bzw y= 0 kann man auch überprüfen.
y = 0 und nur x verändert sich
f(x) = 3x-x³ , bei dieser Funktion wissen wir bereits, dass ein Extrema bei x = +-1 liegt, aber nicht bei x = 0.
Betrachten wir die Gerade y=4-2x, so ergibt sich die Funktion
f(x)=3x-x³+2(4-2x)-(4-2x)²
Wir varieren wieder nur x, da das y sowieso entlang der gerade geht.
Diese Funktion besitzt aber definitiv kein Extrema bei 0.
Conclusio die Funktion kein Extrema bei (0,2)
Passt mein Gedankengang?
