Wie kann ich jetzt die Abhängigkeit prüfen? Stochastik

Question

Aufgabe:

Was Lehrer interessiert

Julia und Romeo sind montags öfters krank. Romeo fehlt mit einer Wahrscheinlichkeit 1/3 und Julia mit der Wahrscheinlichkeit von 1/2. es kommt mit der Wahrscheinlichkeit von 2/5 vor, dass beide im Unterricht anwesend sind. Prüfe durch Rechnung , ob die montäglichen Ereignisse von Julia und Romeo unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Ich habe ja die Wahrscheinlichkeit von 2/3, dass Romeo montags da ist und Julia mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2…. Wie kann ich jetzt die Abhängigkeit prüfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$P(\text{R krank})=\frac13\quad;\quad P(\text{J krank})=\frac12\quad;\quad P(\text{R gesund \(\land\) J gesund})=\frac25$$

Wenn das Fehlen der beiden statistisch unabhängig ist, muss gelten:

$$P(\text{R gesund \(\land\) J gesund})=P(\text{R gesund})\cdot P(\text{J gesund})$$$$\phantom{P(\text{R gesund \(\land\) J gesund})}=(1-P(\text{R krank}))\cdot(1-P(\text{J krank})$$$$\phantom{P(\text{R gesund \(\land\) J gesund})}=\left(1-\frac13\right)\cdot\left(1-\frac12\right)=\frac23\cdot\frac12=\frac13\ne\frac25$$Die beiden fehlen also nicht statistisch unabhängig voneinander.

Comments

Dann war ich gar nicht so falsch. Wie ist denn diese Unabhängigkeit definiert?

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Angenommen, du hast zwei Ereignisse, nennen wir sie mal einfallslos \(A\) und \(B\). Wenn du nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen möchtest, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, hast du zwei Möglichkeiten.

1) Zuerst tritt \(A\) ein, danach tritt \(B\) ein.$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$Dabei ist \(P(B|A)\) die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) eintritt, wenn \(A\) bereits eingetreten ist.

2) Zuerst tritt \(B\) ein, danach tritt \(A\) ein:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$Dabei ist \(P(A|B)\) die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) eintritt, wenn \(B\) bereits eingetreten ist.

Bei statistisch unabhängigen Ereignissen ist \(P(A|B)=P(A)\) und \(P(B|A)=P(B)\). Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für das eine Ereignis ändert sich nicht, auch wenn man weiß, dass das andere Ereignis bereits eingetreten ist. Bei unabhängigen Ereignissen gilt daher:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

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Aber fehlen dann die beiden doch statistisch unabhängig voneinander, oder?

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Nein die beiden fehlen nicht zufällig. Wir haben oben \(P(A)\cdot P(B)\) gebildet und es kam nicht \(P(A\cap B)\) heraus. Die beiden machen also oft zusammen blau.