Das Heer von König Dodon nahm bei einem Feldzug 100 Feinde gefangen, die der König befahl, in 100 Einzelzellen zu stecken. An seinem Geburtstag sollte einige freigelassen werden und zwar nach einem vom Hofmathematiker ausgedachten Verfahren:
Die Zellentüren sind von 1 bis 100 durchnummeriert. 100 Tage vor des Königs Geburtstag werden alle Zellentüren aufgeschlossen. Diesen Tag nennt der Hofmathematiker den Tag Eins. Wächter achten darauf, dass noch niemand seine Zelle verlässt. Von nun an werden an jedem Tag n die Türen aller Zellen, deren Türnummern Vielfache von n sind, in ihrem Zustand (offen- verschlossen) geändert. Die übrigen Türen bleiben unberührt. Am Geburtstag des Königs sind alle Gefangenen frei, deren Türen gerade offen sind. Wir führen das Verfahren des Hofmathematikers exemplarisch für 10 Türen vor (1 = offen, 0=geschlossen):
Tür: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tag 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tag 2: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Tag 3: 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
Tag 4: 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0
Tag 5: 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1
Tag 6: 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
Tag 7: 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1
Tag 8: 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Tag 9: 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1
Tag 10: 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
Vielleicht geling an dieser Stelle bereits eine Hypothese zu den Türnummern aufzustellen, die am Geburtstag des Königs offen bleiben. Andernfalls kann man ein kleines (Excel-) Programm schreiben, dass die offenen Türen von 1 bis 100 nennt.
Dazu einige Überlegungen: Die Zellentür mit der Nummer k bleibt am i-ten Tage unverändert, wenn k kein Vielfaches von i ist:
Wenn mod(k,i)=0,
dann: Türzustand wird verändert.
Sonst: Türzustand bleibt.
Die Formulierung „Türzustand wird verändert“ hat ihrerseits eine „wenn-dann-sonst“-Struktur:
Wenn Türstatus =1,
dann Türstatus =0.
Sonst Türstatus =1.
Daraus ergibt sich eine verschachtelte „wenn-dann-sonst“-Struktur. Diese wird bei Verwendung von Computer-Algebra als Rekursionsvorschrift in eine 100-schrittige Rekursion eingebaut, deren Rekursionsanfang aus 100 Einsen besteht.
Mit einem derartigen Programm kann man die Hypothese erhärten: „Die Türnummern der offenen Türen sind die Quadratzahlen.“ Diese Hypothese ist nun zu beweisen: Bei jeder Änderung des Türzustandes (1 oder 0) ist die Türnummer ein Vielfaches der Tagesnummer. Offene Türen haben eine Nummer mit einer ungeraden Anzahl echter Teiler. Dies sind grundsätzlich Quadratzahlen.
