Vollständige Induktion / Analysis

Question

Hallo! :-)

Kann mir jemand kurz behilflich sein? Und zwar habe ich dieselbe Aufgabe wie diese Person vor ein paar Jahren mal hatte:
https://www.mathelounge.de/21962/beweisen-sie-die-produktformel-fur-und-1-1-x-1-x-2-1-x-2-n-1-x-2-n-1-1

Allerding verstehe ich den Induktionsschritt noch nicht so ganz, kann mir jemand das vielleicht kurz erläutern? Muss ja kein langer Roman sein, einfach nur die Schritte kurz beschreiben.

Wäre wirklich dankbar um jede Hilfe! ;-)

Comments

Schreibe die Zeilen oder Zeile, die du nicht verstehst hier auf, da die Diskussion damals ja ziemlich lang war, Also sag bis wohin du kommst, und zwar indem du die Formel HIER hinschreibst, und dann die Zeile oder Zeilen, die du nicht verstehst.

Wichtig ist dass (1-A^2)/(1-A)=1+A egal wie A aussieht, also such das A

Gruß lul

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Alles klar, grundsätzlich versteh ich schon die erste Zeile vom Beweis nicht wirklich.

Also hier ist mal der ganze Beweis, ich werde die Zeilen, die ich gar nicht verstehe auch schwarz markieren:

> Beweis:

(1+x)(1+x2)…(1+x2^n(1+x^ (2^ (n+1))) | Indvor.

= (1- x2^{n+1})/(1-x) * (1+x2^ (n+1))

|auf einen Bruchstrich bringen

= ((1- x^ (2n+1)) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

|3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

= (1– x^ (2^ (n+2))) / (1-x)


Ab hier verstehe ich tatsächlich nur Bahnhof, vielleicht, weil mich möglicherweise auch die ganzen Klammern verwirren. Aber ich weiß nicht genau wie man schon bei der ersten Zeil, welches fett markiert wurde, also "(1- x2^{n+1})/(1-x) * (1+x2^ (n+1))", darauf kommt?

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Vorallem warum wird hier "(1- x2n+1)/(1-x) * (1+x2^ (n+1))" eigentlich plötzlich im Nenner mit (1+x2^ (n+1)) multipliziert?

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@ThePirate32

Du betrachtest den Induktionsschritt (\(n\rightarrow n+1\)).

Nach Induktionshypothese gilt ja zu diesem Zeitpunkt bereits \((1+x)\cdot(1+x^2)\cdot ... \cdot (1+x^{2^n}) = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\) für ein \(n\in \mathbb{N}\).

Folglich ist

\(\prod\limits_{i=0}^{n+1} (1+x^{2^i}) =\textcolor{red}{(1+x)\cdot(1+x^2)\cdot ... \cdot (1+x^{2^n})}\cdot (1+x^{2^{n+1}}) = \textcolor{red}{\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}} \cdot (1+x^{2^{n+1}})\).

Answer 1

Hallo

(1- x^2ⁿ⁺¹)/(1-x) * (1+x^2 ⁽ⁿ⁺¹))

blau ist der Bruch, da sollst du den Zähler mit dem roten Faktor multiplizieren

Dann sollst du x^2 ⁽ⁿ⁺¹⁾ als A erkennen und (1-A)*(1+A)=1-A^2 bilden  dann ist A^2= (x^2 ⁿ⁺¹)^2=x^2ⁿ⁺²

ein wenig klarer?

Gruß lul

Comments

Ja, jetzt ist es ein bisschen klarer geworden, vielen Dank! :-)

Aber.... warum müssen wir eigentlich mit dem Faktor (1+x2 (n+1)) multiplizieren? Wo kommt das genau her?

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Kennt hier vielleicht jemand noch die Antwort auf die Fragen da oben? .-.

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Hallo

das ist der eigentliche Induktionsschritt von n nach n+1!

Wie stellst du dir denn Induktion vor? Aus dem , was man über 1 weiss  und für n voraussetzt muss man die Formel für n+1 zeigen.

lul